把曲线C分成若干弧段,在从 到  的每一弧段上任取一点 ,做成合数 ,

其中 ,如果分点无限制的增加,而这些弧段长度的最大值将趋于零的时候,如果极限 

存在,则称这个极限为  沿C（从a到b）的积分,记为 .

定理1[1]   若函数 , 在平面闭区域D上连续,并且具有连续的一阶偏导数,那么有

这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.

2计算第二型平面曲线积分的几种常用方法

2.1转换为定积分计算

2.1.1直接计算

当积分曲线的方程简单明了，易于表示且被积函数不过于复杂时，可以由积分曲线L的方程以及自变量的变化范围,把L的方程带入到原积分中,从而使第二型平面曲线积分转化为定积分计算.

例1  计算  ,其中L表示y=2x-1,从A（1,1）到B（2,3）.来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

解    将y=2x-1代入积分式中,得

 .

2.1.2使用参数方程计算

设平面曲线

L：   ,其中  ,  在 上具有一阶的连续导函数,且A与B的坐标分别为  与 .又设 与 为L上的连续函数,则沿L从A到B的第二型曲线积分

对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分的计算,可在L上任取一点作为起点,沿L所指定的方向前进,最后回到这一点.

相比于直接转化为定积分计算的严格限制,若积分曲线不易描述但是其参数方程能够容易找出时,可采取参数方程法计算.

例2    计算  ,C为 

解  本题中C的方程不易描述,直接计算十分困难.故观察到C为椭圆,参数方程为

在某些特殊情况下,计算第二型曲线积分之前可直接把曲线L带入被积函数之中,先简化被积函数,然后再采用其他方法计算将有效的降低运算量.