例1  求 的最值。

分析  这是求一元二次函数最值的最简单形式，只要化为顶点式即可．

解  原函数可化为

 。

则当 时，函数的最大值为 ．

    当定义域为给定的区间时，这时需要综合考虑函数的定义域与值域，最值不一定在顶点处取得．

例2  设函数 ，  ，求 的最值．

分析  本题与例1的唯一区别就是函数的定义域不同，这时需要结合二次函数的图形或函数的单调性来确定函数的值域情况．

解  原函数可化为来*自-优=尔,论:文+网www.chuibin.com

 ，

而此函数在 上是单调递增的，在 上是单调递减的，而当 时， ；当 时， ．综合知，当 时，函数最小值为 ．当 时，函数最大值为 ．

例3  已知  ，求 的最值．

分析  形式上不是一元二次函数的形式，但可以通过换元转化为一元二次函数的形式．这时要考虑到“元”的取值范围．

解  由 ，得

 ．

由 ，解得 ．将 代入，得

 ．

此时 在 上单调递增．故当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最大值为 ．

2。2  判别式法

判别式法通常用于求分式函数或无理函数的最值，可通过适当的变形将这些函数的最值问题转化为一元二次方程有无实根的问题，再利用判别式 ，进而求出函数的最值[2]．

例4  求函数 的最大值与最小值．

分析  这是求分式函数的最值问题．因为分式函数的分母恒大于0，故可采用判别式法求解．

解  因为 的判别式

 ，

所以 对一切实数恒成立。由

 ，

得

                          。                     （1）

当 时， ；当 时，由 ，知一元二次方程（1）必有实根，因此

 ．

解得

 ，

综上， 的最大值为 ， 的最小值为 ．

注意  关于 ， 的二元二次方程，转化为形如 的形式，且 ，后利用判别式法来求解．同时也要检验 时 的值所对应的 的值是不是定义域内的值．

例5  求函数 的最值．

解  由  ，得

 ，

两边平方，得

 ，

整理，得

 ．

因为 是实数，所以

 ，

解得 

 ．

又因为 ，解得 ．故

 ．

综上，有

 ，

且当 时， ；当 时， ．故 的最小值为 ， 的最大值为 ．

注意  当自变量的取值范围不是全体实数时，在求出函数的范围后，需要把区间端点值代入原函数进行验证，以避免出现“增值”等错误．