下证  是唯一的，运用反证法。假设还有 也属于所有的闭区间，从而对任意的 ，有 ，有 。

    根据极限的不等式性质有 ，与条件矛盾，所以 是唯一的。

    由上述容易推得如下很有用的区间套性质：

    推论1[3] 若 是区间套 所确定的点，则对任给的 ，存在 ，使得当 时有

 。

注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理结论成立。

下面给出区间套定理的若干推广。

    定理2[4]（闭域套定理） 设 是 中的闭域列，它满足：

则存在唯一的点 。

    注2 这里的 是指平面点集的直径。

    定理3（开区间套定理） 若开区间列 ，满足

则存在 ，使得 。

证 根据条件（1）和（2），由闭区间套定理显然有结论 ，且

显然与闭区间套定理比较，由于开区间列的构成结构，开区间套定理只能保证 点的存在性，不能保证 。

例如开区间列 和 均满足开区间套定理的条件，但 ， 。

特别的，对于开区间列 或 ，结论为 或 。

要保证 的存在区间，只需要开区间套定理的条件（1）加强既可以得到：

推论2 若开区间列 满足：

则存在 ，使得

证 考虑闭区间列 ，由条件（1），（2），可知 满足闭区间套定理的条件，故存在 ，使得 ，且 ，又由条件（1） ，所以 。

    定理4（半开半闭区间套定理） 若半开半闭区间列 满足：

   （1） 有    （2） ,

则存在 使得

    同理可得，半开半闭区间列 在相应条件下，具有类似结论。

    闭区间套定理在一般度量空间上的推广

    完备度量空间具有正定性，对称性，三角不等式性和完备性。具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广。

    定义2[5] 设 是一个非空集合，在 上定义一个双变量的实值函数 ，对任意的 ,有：

   （1）（正定性） ，并且 =0当且仅当 成立;

   （2）（对称性） ;

   （3）（三角不等式） ;

则称 为一个度量空间。

    定义3 设 是度量空间 中的一个子集，对于 中的任意点列 ，若当 ，有 ，则称 为闭集。

    定义4 如果对度量空间 中 的每一个 序列都收敛，则称 是一个完备度量空间。

    定理5 设 是完备度量空间 上的闭集列，如果满足：文献综述

   （1） ;

   （2） ,

则在 中存在唯一一个点 ，使得 。

    证 任意 中的点列 ，当 时，有 ，所以

 。

即对于任意给定的实数 ，存在整数 ,使得当 时，有 ，所以 是 序列，又因为 是闭集列，故 收敛于一点 ，且有

 。

    下证唯一性，如果另有一点 ，使得 则由定义有

 。

从而得到 ，故在 中存在唯一一点 ，使得： 。

3 闭区间套定理及其推广的应用

    例1[6] 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理。

    证 设 在区间 上连续， ，并且记 。令 ，如果 ，结论已经成立，故可以设 。那么 与 有一个小于零，不妨设 ，记 。再令 ，如果 ，结论已经成立，故同样可设 。那么 在 与 这两个区间中的某一个区间上端点值异号，并记这个区间为 。将这个过程无限重复下去，就得到一列闭区间 ，满足：