对于一个一元函数 ,取 ,对 在 处做一阶的泰勒展开：

 ,

其中 在 和 之间,取 ,那么把

 ,

看作高阶无穷小量,则有

 。

方程 可以近似的表示为

 ,

其中 =0的根 

对于这个线性方程,我们可以记其近似根为 ,那么 的计算公式为：

 ,

做 次迭代,即得牛顿迭代公式

 , 

注：公式推导的过程用的是 的泰勒展开式中的线性部分作为 的近似值,所以牛顿迭代法是一个反复迭代线性化的方法。

牛顿迭代法的几何解释：

方程 的根 在几何上可理解为曲线 与 轴的交点的横坐标。若 是根 的一个近似,那么过曲线上横坐标为 的点 作曲线 的切线,则这条切线 与 轴的交点的横坐标即为 ,如下图所示。

图1 牛顿迭代法的几何意义

因此,牛顿迭代法也可称牛顿切线法。

3  非线性方程组的牛顿迭代公式来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

对于二元函数而言,也可通过泰勒公式展开：

设 在点 的某一领域内连续,且直到 阶都有连续的偏导数,在该领域上的任意一点 ,则有：

 。

设 在点 的某一领域内连续且直到二阶有连续的偏导数,领域内任意的一点 ,有

 ,

方程 可近似地表示为 。

即同理设  在点 的某一领域内连续且直到二阶有连续的偏导数,该邻域内任意的一点 ,同样有