⑴ 若导数 时，那么函数 在区间I上是单调递增函数．

⑵ 若导数 时，那么称函数 在区间I上是单调递减函数．

⑶ 若导数 时，那么 在区间I上为常量函数．

简便的判断一个函数的单调性，但是在应用时特别的注意在区间内 是 在此区间上为单调递增函数的充分而不必要条件．且 也是在区间上为单调递减函数的充分而不必要条件．

例2 证明函数   在 的区间上为增函数．

分析：   证明一个函数在某个区间上为增函数或减函数，应该证明该函数的导数在此区间上大于“0”还是小于“0”，函数的导数在某个区间上大于“0”或者小于“0”是这个函数在该区间上单调递增或者递减的充分条件．

证明： 因为 ，

当 时 时，

 所以 ．

那么所以函数 在 上是增函数．

例3   求函数 的增区间．

分析： 求一个函数的单调区间，应该先判断其导数的正负，如若 的导数 的区间为I，则 的增区间为Ｉ．如若 的导数 的区间为I，则 的减区间为I．如若 的导数 的区间为I，则 在I上为常量函数．

解：  因 文献综述

即当 恒成立时

即当 或 时

函数在该区间上为增函数

故函数 的增区间为 。

   例4 （2015江苏高考19题）

已知函数 ,尝试讨论 的单调性。

分析：  根据函数 的导函数 的零点在各个区间的正负号，从而得到函数 的单调性。

解：    ，令 

解得

       当a=0时， 

       所以函数 在 

       同理

当a<0时，可得 。

由在不同的区间上，故考虑因素是不一样的．即侧面的反应出在区间内 是 在此区间上为单调递增函数的充分不必要条件．同时 也是在区间上为单调递减函数的充分条件而不是必要条件．

注：  上面的例子看出利用“导数的性质”可判断出函数的单调性，求出函数的单调增减区间．

3。2 利用函数的导数求极值和最值问题

求函数的最大值、最小值、极值等问题是高中数学中的重难点。且在高考中占有较高的分值，涉及到高中数学知识中的各个方面，往往是需要多种技能技巧来解决这样的问题，且需要选择合理快捷的解决过程与方法．用函数的导数解决这类问题可使解答问题的过程简化，步骤更加清晰明了．注意：函数的极大值极小值，最大值最小值间的区别与联系，“极值”是在某个区间上加以探讨研究的局部性问题，“最值”是在整个区间上的整体性问题．

函数的导数求函数的极值或最值解答问题的步骤 ：

   （1）根据求导的一般法则对该函数求导，即求出导数 。

   （2）如若函数的导数是等于0,就可以解出该函数的导函数的零点，即是在求   

方程 的根。

   （3）分区间讨论研究,得到函数的单调增区间和单调减区间．

   （4）先判断出极值的点，然后求出极值．（（3）（4）检查 在   

方程的根左右的值的符号，函数在左边为正，右边为负，那么函数 在这个根处取

极大值，要是函数在左边负，右边正，那么函数 在这个点处取极小值．）

   （5）将算出区间端点的值以及其极值进行比较大小，从而计算出最值．