摘要：多元函数积分的计算一直是数学分析中的重点和难点，而利用对称性可以很大程度地简化多元函数积分的计算．本文将重点介绍对称性在多元函数积分中的一些性质，并通过具体的题目说明如何利用对称性来计算多元函数积分．75352

毕业论文关键词：多元函数积分，对称性，计算

Abstract: Multivariable function integral  is always the key point in mathematical analysis，and it is difficult for students，symmetry  can greatly simplify the calculation of multivariate function integrals。In this paper, focused on some properties of symmetry in multivariate function integrals，some examples are given on illustrating how to efficiently use symmetry to calculate multivariate function integrals．

Keywords:multivariate function integral，symmetry，calculus

目  录

1引言5

2 积分区域的对称与函数的奇偶性在多元积分中的应用5

2。1 积分区域的对称与函数的奇偶性在重积分中的应用5

2。2 积分区域的对称与函数的奇偶性在曲线积分中的应用7

2。3 积分区域的对称与函数的奇偶性在曲面积分中的应用9

3 轮换对称性在多元积分中的性质与应用10

3。1 轮换对称性在多元积分中的性质与证明10

3。2 轮换对称性在多元积分中的解题应用11

结论13

参考文献14

致谢15

１　引言

本文提到的对称性主要分为积分区域的对称和函数的奇偶性以及轮换对称性，而多元函数积分主要分为二重积分、三重积分和曲线（面）积分．本文就这些对称性在这几类多元函数积分中的应用进行讲解．文献综述

２　积分区域的对称与函数的奇偶性在多元积分中的应用

函数图形的对称性可用来简化积分．我们熟知的，在对称区间 上的可积奇、偶函数 的积分有

现在我们将这个应用推广到多元积分函数当中．                         

2。1  积分区域的对称与函数的奇偶性在重积分中的应用

    性质1　 设 在闭区域 连续可积，且 和 具有某种对称（关于某直线或某点对称），则

（1）如果 关于区域 和 是奇函数，即对 ，其对称点为 ，有 ），那么

 ；

(2)如果 关于区域 和 是偶函数，即对 ，其对称点为 ，有 ），那么

 ．

根据多元函数积分的性质或Riemann积分的定义，不难验证．

例1  计算 ，其中 = ．来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

解  记 ， ，则 和 关于 轴对称（图1）．设 ，因为 ，由性质1知                             

 ． 

与在二重积分中的结论类似，对称性也能够简化三重积分的计算．

性质2  设 在闭区域 连续可积，其中 和 具有某种对称，则

（1）如果 关于区域 和 是奇函数，即对 ，其对称点为 ，有 ，那么

 ；

(2)如果 关于区域 和 是偶函数，即对 ，其对称点为 ，有 ，那么

 ．

例2  计算 ，其中 为 ．解     

因为 关于 平面对称且 是相应于 的奇函数,于是 ；又因为 关于平面 对称，于是 与 有相同的积分域和被积函数，所以 ．从而有