分析  本题的关键是构造辅助函数 ，可把上式变形   ，把其中的 换成 ，即可得   ，故上式左边的原函数为

   ，下面只需要再加上某些项使其满足罗尔定理的条件，即可得     ．

　　证明  作辅助函数 ，令 

     ．

故    ，所以存在 ，使得 ，即

　　　    ．

所以又因为 ，故上式可整理为    ．

 上述证明过程中，当 变为 时，就可得到拉格朗日定理的证明．　　

定理5（泰勒公式） 若 在 上有直到  阶连续导数，在 上  阶导数存在，则对于 ，有

        ，

其中 ．　　注　当 :

2．2  定理的内在联系和几何意义

微分中值定理由罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理和泰勒定理组成，而这几个定理之间也紧密相连．其中，柯西中值定理对条件要求最弱，是最一般的情形．拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，只需令  ，就可得到拉格朗日中值定理．罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，只要令  ，就可得到罗尔定理，且拉格朗日定理是泰勒公式的特例，只需令 就可得到拉格朗日定理．也就是说罗尔定理是基础，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西定理是拉格朗日定理的推广，而泰勒定理是拉格朗日定理的推广，是拉格朗日定理在导数与阶数上的一个推广．　

三个定理有相同的几何解释　在曲线上至少存在一条切线平行于两端点的连线．来*自~优|尔^论:文+网www.chuibin.com +QQ752018766*

3  微分中值定理的推广 

　　微分中值定理有三种基本形式，即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理．其中，罗尔定理是基础，现以罗尔定理为例，从减弱条件，加强结论，改变形式三个角度来探讨微分中值定理的推广形式．

(1)  减弱条件

推广1［2］　设 在 内可导，且    ，则在 内至少存在一点 ，使得  ．

　　证明　令    ，作辅助函数 ，且令  ，则由条件 在 内可导知， 在 上连续，在  内可导，且  ，故则至少存在一点 ，使得 ．又当 时，  ，故  ，所以  ，得证．

注　若将开区间 换成 ，或 ，同样有上述结论　存在一点 ，使得 ，证明方法也类似．