3　介值问题的应用

3。1　介值问题在证明恒等式中的应用

例1　设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，

，证明：存在，使得。

证明　设，则。只要能找到，使得。

因为此时，也就是要找，使得。

设在内的最大值为，且。文献综述

（1）若，取，则,

（2）若，则有，从而有,

由根的存在性定理知，必存在之间的点，当然，使得。

例2　设函数在上可导，，求证：存在，使得。

证明 因为，所以由介值定理知，必存在，使得。

利用微分中值定理，存在，使得

则   利用微分中值定理，存在，使得

则所以例3　设函数在上可导，，求证：存在，使得。

证明 因为，所以由介值定理知，必存在，使得。

利用微分中值定理，存在，使得则,利用微分中值定理，存在，使得则,所以。

例4　设函数在上可导，，求证：对于任意正的常数，存在，使得。

证明 因为，所以由介值定理知，必存在，。

利用微分中值定理，存在，使得，

则利用微分中值定理，存在，使得

，    注 以上三个例子都要考虑区间端点函数值。

例5　设函数在上连续，在内可导，且，试证存在

，使得．证明 设，则，由微分中值定理，存在，使得

，即设，则，由微分中值定理，存在，使得由（1）（2）得所以有例6 设函数在上连续，在内可导，证明在内存在，

使。来~自,优^尔-论;文*网www.chuibin.com +QQ752018766-

证明 由微分中值定理，存在，使得

。                          （1）

设，则，由柯西中值定理，存在，使得

即亦即      （2）

由（1）（2）得

例7 设函数在连续，在上二阶可导，，，

求证，．