如果 那么是几何算术凸函数。

定理 1。4[[[]Jinrong Wang, Xuezhu Li, Chun Zhu。 Refinements of Hermite-Hadamard type inequalities involving fractional integrals [J]。  Bull。 Belg。 Math。 Soc。,  2000(28):20-223。]]  如果函数是定义在上不 减 的 凸函数，且 ＞0，0＜a＜b, ,那么就有下面的分数阶积分不等式成立

2  预备知识

定义2。1  函数：称为凸函数，如果对于每个，都有下面的不等式成立：

其中。如果是凸函数，则称是凹函数。

定理 2。2[[[]I。 iscan, Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions [J]。  Hacet。 J。 Math。 Stat。 43 (6) (2014) 935-942。 ]]  定义，，＜,，且是一个调和凸函数，那么我们就有下面不等式成立：来~自,优^尔-论;文*网www.chuibin.com +QQ752018766-

定理 2。3[[[]I。 Iscan, S。 H。 Wu, Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions via fractional integrals [J]。  Appl。 Math。 Comput。 238 (1) (2014)。 237-244。

]]  定义：，，，＜，是一个凸函数。如果是在上的一个调和凸函数,那么我们有下面的不等式成立

     在这里＞0且。

3  主要结果

    引理3。1  定义，函数是上的调和凸函数，那么有

在上是凸的。     证明 函数在是几何算术凸函数。，我们，则有   

这时我们用和替换和，则应用上面不等式我们可以得到