，由上式得，又由于，所以．

若把中两个相等的比看作，则

，，

用乘以，得或者，这是个全微分方程．

　　这说明若微分方程有通解，它就至少有一个积分因子．

3。2　积分因子多样性

　　在具体解题过程中，微分方程的积分因子存在时并不唯一，且由于求出的积分因子不同，可能导致求出方程的通解具有不同的形式．

　　性质2　如果是微分方程的一个积分因子，则(为任意非零常数)也是该微分方程的积分因子。

证明　设是微分方程（*）的一个积分因子，于是存在二元函数，那么有。对于任意一个非零常数，由于

，

可见也是方程的积分因子，所以该微分方程有无穷多个积分因子。

3。3函数成为积分因子的充要条件来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

性质3　函数是微分方程积分因子的充分必要条件是满足方程

证明　若是微分方程（*）的积分因子，则为全微分方程．从而有，，所以

故必要性成立，反之同理可证充分性成立．

注　（1）（**）是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程．当及连续可微时，它的解是存在的，理论上说明了微分方程积分因子的存在性．

（2）若微分方程有只和有关的积分因子，则．（**）变成