3。1二重积分的计算文献综述

    把定积分的对称性推广到二重积分的计算中有如下性质

    二重积分的对称性1  若关于轴对称，当时，有

当时，有（其中是的上半部分）

    证明  由于关于对称，因此假设：，，从而

如果函数是关于的奇函数，由二重积分的对称性可知

，

故如果函数是关于的偶函数，则

因此二重积分的对称性2 若关于轴对称,当，有

当，有(其中为的右半部分)    证明同上类似  例3 计算积分，其中区域：

    解 分析

由于积分区域关于、轴对称，而为奇函数，则

所以  原式 二重积分的对称性3 若关于原点对称，当,有

当，有(其中是的上半部分)

    证明  设可分为两个区域和，并且和是关于原点对称的且任意的,关于原点的对称点，则  由Jacobi行列式

而，由此可知：当为奇函数时，来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

当为偶函数时，  例4 计算积分，区域：

分析 原式解 因为积分区域是关于、轴对称的，

而为关于、的奇函数，即，故所以

    二重积分的对称性4 设关于直线对称，则。

证明 由于关于直线对称，有，即。

    例5计算，其中区域由曲线与所围成。