由闭区间套定理可知存在唯一一点，使得，．

  又在可导，所以有  即在内至少有一点，使得

定理得证．

2。1。3柯西中值定理的证明

    证　构造辅助函数 　 

因为，即可知恒小于零或恒大于零．若不然，由费马定理知，必存在使得．不妨设恒大于零．则对任意，其中，．又由复合函数的连续性可得在闭区间上连续，在开区间内可导，且             

即要证明　　来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-　　

构造辅助函数　　

可知满足拉格朗日中值定理的条件，则可知至少存在一个，

使得           

成立，再由     

可知，至少存在使得成立，定理得证．

2。2微分中值定理的推广

2。2。1罗尔定理的推广

    定理4　（推广一，推广到开区间）

    若函数满足如下条件：

     ①在开区间上连续且可导；② ；

则在上至少存在一点，使得   

证　：当时，对在，两点进行连续性延拓，使得

，则在上连续，在内可导且有，故满足罗尔中值定理的条件，存在使得．

    　：当时，由于，所以存在 ，，

，使得，则在上连续，在内可导，故满足罗尔中值定理的条件，存在使得．