由在上可以知道是满足罗尔中值定理,所以在内至少存在一点,有。但这与假设相矛盾,假设不成立。

(2)当,由于在内连续,根据极限的定义,对于任意大的,存在，则直线与至少有两个交点与,即不妨设,从而可以知道在上满足罗尔中值定理条件,所以存在点,使得。成立。

(3)当时,可以类似证明此结论。来`自+优-尔^论:文,网www.chuibin.com +QQ752018766-

  定理5[2]设在上连续,在上可导,而且有,则至少存在一点,使得。

  定理6[2]设函数,,在上连续,在内可导,则至少存在一点使得

         证明:下面先作辅助函数,令由行列式的性质可以知道,,从而在根据罗尔中值定理知道至少存在一点使得。

1。2 Lagrange中值定理的进一步认识

    Lagrange中值定理只是仅仅说明的存在性问题,也就是至少存在一点,所以除了一些较为简单的函数外,是无法无法说明其它函数的问题,下面探讨如下结论:

  定理7[3]函数在上具有二次可导的性质,则函数是(这样的二次函数)的充分必要条件是对任意的满足方程的点。

  定理8[3]设函数满足拉格朗日中值定理的条件,而且函数在内严格单调,则”中值点“是关于的单调函数。