本论文主要涉及高阶常系数微分方程的解法，包括高阶常系数齐次线性微分方程的特征根法，高阶常系数非齐次线性微分方程的常数变易法、比较系数法、拉普拉斯变换法与算子解法两个部分，并分析了各种方法的优缺点及其使用范围。因此，对常微分方程的研究是具有实际意义的。

1。 n阶常系数齐次线性微分方程和欧拉方程文献综述

定义  形如 的方程为n阶常系数非齐次线性微分方程（其中为实数，为连续函数），如若0，称形如

的方程为n阶常系数齐次线性微分方程，并且一般把方程（2）叫做对应于（1）的齐次线性微分方程。

1。1 特征根法

由一阶常系数线性微分方程的通解形式，可以得

其中是的n次多项式。注意到为方程（2）的通解的充要条件是是代数方程

的根，并且通常称（3）为对应于方程（2）的特征方程。

(1)特征根为单根

设是特征方程（3）的个互不相同的根，那么相对应地方程（2） 有如下n个解：

如若均为实数，那么（4）就是方程（2）的n个线性无关的实值解，从而方程（2）的通解可以表示为

其中为任意常数。

如若特征方程有复根，复根会以共轭形式成对出现（因为方程的系数是实常数），也就是为一特征根，那么也是特征根，从而方程（2）就有两个复值解

它们的实部与虚部同样也是方程的解，因此可求得方程的两个实值解, 。

(2)特征根有重根来;自]优Y尔E论L文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

不妨设特征方程有重根，则   

先假设，也即特征方程有因子，所以，特征方程的形状为，相对应的方程（2）变为 

我们知道它有k个解 ，并且它们是线性无关的。从而，特征方程的k重零根与方程（2）的解 相对应。如果这个k重根，作变量变换，可以得到