如果在上连续，则至少存在一点，使得

。

1。3积分中值定理

假果函数在闭区间是连续的，则在上至少存在一点，使得。

1。4牛顿—莱布尼兹公式

如果存在函数，它是连续函数在区间上的一个原函数，则

。

1。5泰勒中值定理

如果存在函数，在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对该邻域内任意异于的点，在与之间至少存在一点，使得

。

证明

在内具有阶直到阶连续的导数

对(不妨假设)，则在上存在阶直到阶的连续导数，我们通过应用积分中值定理与牛顿—莱布尼兹公式可得：

，在与之间

即，在与之间

再次通过应用以上数学知识可得

，在与之间

对不同的，在上都有

由此公式我们可得是的函数。

类似的我们可得是的函数

将等式两边分别取到的积分，即

然而

对

是的函数，且是不变号的，由积分中值定理可得

。

其中于是文献综述

。

在上是连续的，由连续函数的介值性定理和最大值和最小值定理，我们可知至少存在一点，使得，即

在与之间

从而。

即

在与之间

在与之间

在与之间

等式两边分别取到的积分得

。

即

在与之间。

重复以上计算过程，最后我们可得

。

在与之间，而未必是相同的，记

，在与之间。

1。6拉格朗日中值定理

若函数满足(1)和(2)足如下两个条件：

(1)在闭区间上连续；

(2)在开区间上可导；

则在上至少存在一点，使得：。

证明

由1。5知，当时，有，从而我们得到中值定理：

。

2。函数凹凸性的证明来;自]优Y尔E论L文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

2。1定义法证明函数凹凸性

定义1设函数为在上的函数，若取任意两点和，总存在：

则称为上的凸函数。

反之，如果总存在

则称为上的凹函数。

凸函数凹函数

特别的，若，并有，则函数是凸的，反之则是凹的。