令，，则在上非负可积，于且，于。

     因而于且于。

     由法图引理:

所以。由于，故，即                    。

(ii)由可知，当时，   

所以，故 证毕。

3。勒贝格控制收敛定理的应用 

3。1利用勒贝格控制收敛定理证明相关结论

    勒贝格控制收敛定理能够用来证实积分的等式、积分的不等式、积分极限、函数可积、判断函数的连续等问题[11,12]。

例1：设，在上的一列非负可测函数，来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

且，，。证明：中至少已知一个为可积时，有。

证：为可积函数，在上处处收敛于，考虑函数列

则是上的非负的可测函数列，且  ，

因为可积及由式（3）知可积，所以， 

故由式（4）消去后，即得

即    例2：证明：关系式收敛于零与依测度收敛于是等价的。

证：由函数当时严格单调增加知，的充要条件是。 故 

，

推知：当，依测度收敛于零的充要条件是依测度收敛于零。

      若，必有依测度收敛于零，从而依测度收敛于零。 反之，若依测度收敛于零，必有式依测度收敛于零。

      又，故可得  例3：设是上非负的有界可测的函数，。