1。全微分方程及积分因子

1。1相关定义

对于讨论一阶微分方程（1）

其中、在平面内的某一个连通的区域上是连续函数，有连续一阶偏导数，在上满足,那么该方程就称为恰当方程。

当时,如果存在连续的函数,且具有连续的一阶偏导数,函数,使得

有，就能把方程（2）叫做恰当方程,并且把叫做是方程的积分因子。

恰当微分方程的通解可通过积分来求得，但是我们常常会遇到很多方程并不是恰当方程，通过积分因子就可以将非恰当方程转化成为恰当方程,因此寻找积分因子就显得非常的重要了。

1。2积分因子的性质

(1)存在性

如果方程，有解,则必有积分因子使

                      。

所以可得知方程只要有解的存在,那一定就有积分因子的存在。

(2)唯一性[1]来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

如果方程的积分因子存在,那么我们要自然会问方程的积分是否唯一？

由基本公式,同一方程可以有不同积分因子，，，,说明了积分因子存在但并不是唯一的。

所以方程如果有解的存在，就一定有积分因子存在，而且不唯一。

1。3积分因子存在的充要条件

定理1 函数是方程积分因子充要条件为，

即    因为积分因子各式各样，所以导致了积分因子存在的充要条件的形式也是各式各样。

     结论1[2-7] 方程只与相关的积分因子充要条件为，仅为函数，且积分因子是。

例1 求积分因子。

解 ，，这时，，且   

所以积分因子为。

结论2[2-7] 方程只与相关的积分因子充要条件为，仅为y函数，且积分因子是。

例2 求积分因子。解 ,,这时

所以积分因子为。

     结论3[2-7] 方程有，如的积分因子充要条件为，且积分因子是