证明：由定理可知，只要令 就有 ，下面证明分解是唯一的。设有两种分解

上式中的 为正交矩阵， 为对角元素均为正的上三角矩阵，则

由假设及对称的正定矩阵 的楚列斯基分解的唯一性，则可以得到 ，从而可得 。证毕。

1。2 QR算法产生序列

设∈ 为矩阵，且对进行 分解，即 ，其中为上三角矩阵，为正交矩阵，于是可得到一个新矩阵

。

显然，有正交相似变换的性质我们知道 与有相同的特征值。然后再对进行分解，这时我们可以得到一个新矩阵，对这一分解过程进行重复，就可以得到如下的矩阵序列[6]：设 将 进行QR分解 作矩阵 ⋮

求得 后将进行QR分解 形成矩阵 ⋮

QR分解，其实就是通过矩阵的QR分解，按上述递推法则构造矩阵序列 的一种方法，只要A为非退化的矩阵（A的行列式不为零），则由QR算法就可以完全决定。

定理1：（基本QR方法）设来:自[优E尔L论W文W网www.chuibin.com +QQ752018766-

= ∈ 构造QR算法：

其中 为上三角矩阵；k=1，2…

记 = ，， 则: (1) 相似于 ，即 ；(2) ；

(3) 的QR分解式为 。

证明：（1）（2）显然，现证（3）用归纳法，显然，当k=1时有 。设 有分解式

，

于是有定理知，将 进行QR分解，即将用正交相似变换的方法让其化为上三角矩阵。其中 故

。

这就说明 可由 下述方式得到：

（1）左变换 (上三角矩阵)；

（2）右变换 。

2。用正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg矩阵

2。1Housenholder变换与上Hessenberg矩阵