红外图像锐化技术研究+文献综述(5)
（2.1）
公式（1）表明梯度的值就是指某个函数在变化率达到最大时该方向山的单位距离所增加的量。公式（1）是针对连续变化的数据的，而图像在计算机是以一个个像元为单位的，是数字图像的形式，所以上面的公式可以变换为：
（2.2）
在实际计算中，为了减少运算量，一般将上面的式子简化为：
（2.3）
为了实际需要，有时（3）式也可以近似化作：
（2.4）
上面的公式（2.3）和公式（2.4）是最基本的梯度法的两种形式，其中（2.3）称为水平垂直差分法，（2.4）称为罗伯特（Roberts）梯度法。通过公式可以看出，这两种方法对图像中最边缘的地方，即最后一行或一列是无法通过计算得到的。这时，我们默认就用前一行或一列来代替。我们这里暂且将这种方法叫做方法一，方便后面讨论。
上述方法在计算上是非常简单的，但同时问题也很明显。因为上面的方法是将每个点的灰度值用该点的梯度值来替代的，所以它只能用来凸显出图像中灰度变化率非常大的边缘，而相对平坦的部分以及灰度变化率较小的边缘则会显示出统一的黑色，这样就无法满足我们的要求。
第二种方法是在方法一的基础上另外设置一个非负的阈值T，具体公式为：当 时， ；其他情况下 。在这种情况下，我们可以根据需要取不同的T值，这样就可以达到既突出边界又保护平缓部分的目的。
第三种方法是在有阈值T的前提下，再设置一个单独的灰度级Lg。具体的计算方法为：当 时， ；其他情况下 。这里我们将图像中特别突出的边缘都统一了。
第四种方法与上面的又正好相反，它是将图像中的背景部分用一个设定好的灰度值 来表示。具体的计算方法为：当 时， ；其他情况下， 。
第五种方法则相对粗略，它是直接根据某一特定的T值，将图像分为两部分，得到二值图像，这种方法一般只能用来研究图像中边缘所处的位置。具体的计算方法为：当 时， ；其他情况下， 。
2）常用的空域锐化算子
锐化的方法有很多，篇幅所限，不能全部一个个的叙述。这里主要介绍几种常见的算子，包括Prewitt算子，Sobel算子和拉普拉斯（Laplacian）算子。
上面在介绍Roberts锐化方法的时候我们提到过，该方法对于噪声是十分敏感的，因此在加强边缘的同时，噪声也被放大了许多。因为噪声是信号上下起伏的随机扰动，所以数学上通过求平均能够有效的减少甚至抑制噪声。Prewitt梯度算子就是在先求平均的前提下，再通过差分法求梯度，这样就能一定程度上减少处理后的图像中的噪声信息。其模板为：
上面的两个模板分别对应的是水平方向和垂直方向。由此可以得到两个方向上的梯度，再结合边缘的检测就可以利用平均差分法得到处理后的图像。
另一种算子Sobel算子则是通过对行或者列先进行加权，之后再进行平均差分才得到最终的图像，因此也叫加权平均差分方法。同样的，它也有自己对应的模板：
Sobel算子和Prewitt算子都具有能够检测出边缘点的同时对噪声进行抑制的特点，而且检测出的边缘宽度至少为二像素。因为在运算中过程中都有平均化的计算，而平均时会丢失一些细节信息，所以边缘不可避免的会出现模糊现象。但由于Sobel算子还具有加权运算，所以边缘模糊的程度要比Prewitt算子低一些。