基于盲反卷积的显微图像增强技术研究(3)
式中，(*)表示卷积运算。
由于计算机只能识别离散信号，因此有必要将连续信号数字化。对于 和 ，把它们的模拟采样序列分别记为 和 。则(1)式对应的离散卷积公式为
(3)
对于因果系统，给定序列 和 ，(3)式变为
(4)
式中， 是序列 的长度。
因为卷积形式不够直观，出于方便分析和简化计算过程的考虑，常常把卷积公式表示成向量形式[ ]。把数列 排成列向量，记为 。这样，(2)式就能写为
(5)
其中， 是由h构成的卷积核矩阵，有 列，形式如下
(6)
考虑如下的情况，输入序列 可视为无限长序列，而能够观测到的输出序列 是有限长的。由卷积运算可知，为了计算 的L个样本，需要 的全部M个样本以及 的 个样本。由于长度分别为M和 的数列的常规卷积长度为 ，因此 的L个样本只是 和 卷积的一部分，称为部分卷积2。使用向量矩阵表达式，部分卷积可以写作
(7)
一般情况下，设 的长度为M， 为参与卷积运算的部分序列，其长度 。它们的部分卷积记为 ，其长度为 。用向量矩阵形式表达，可以写为
(8)
式中，x和 分别是 和 的向量表达， 是由 构成的卷积核矩阵， 表示 的反排序列。
2.2 二文离散卷积
假定二文序列 和 定义在如下集合中
上，其中 是二文平面上的整数网格点构成的集合。它们的卷积可以写成如下的二文形式2
(9)
为了进一步简化(9)式，可以将其转化为向量矩阵的形式。分别把二文序列 , 和 的每个行转置，再从第一行起，逐次地排成一个列向量，就得到了列向量形式的 和 。卷积公式(9)可以写成2
(10)
式中
(11)
一般地，设 和 的尺寸分别为 和 ，并且满足 ，它们的部分卷积如下
(12)
其中， 是 构成的卷积核矩阵。