FIR数字滤波器的设计+源码(3)
对上式进行Z变换后等到FIR滤波器的传递函数为：
(1-4)
2. FIR滤波器的改进
在经典FIR滤波器的基础上，可以对其进行改进以达到更好的效果或者满足某些特殊要求。从整体上看，FIR滤波器的改进可以分为时域改进和频域改进两大类方法。其中，时域改进的典型代表方法是加窗法，而频域改进的典型代表方法为频率采样法。
2.1 加窗法
窗函数设计法又称为傅里叶级数法。这种方法首先给出 ， 表示要逼近的理想滤波器的频率响应，则由IDTFT(傅里叶反变换)可得出滤波器的单位脉冲响应为
(2-1)
由于是理想滤波器，故 是无限长序列。但是我们所要设计的FIR滤波器，其h[k]是有限长的。为了能用FIR滤波器近似理想滤波器，需将理想滤波器的无线长单位脉冲响应 分别从左右进行截断。当截断后的单位脉冲响应 不是因果系统的时候，可将其右移从而获得因果的FIR滤波器。
另一种设计方案是将线性相位因子 加入到理想滤波器的频率响应中，然后利用IDTFT计算出 后，取 在 范围的值为FIR滤波器单位脉冲响应。
理想滤波器的频率响应 和设计出的滤波器的频率响应 的积分平方误差定义为
(2-2)
也可以表示为
(2-3)
上式中的第一项和第三项与所设计出的滤波器参数是没有关系的，为了使上式中的第二项达到最小，可选择
(2-4)
所以用上面的方法得出的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。
Gibbs现象就是理想滤波器的单位脉冲响应 截断获得的FIR滤波器的幅度函数 在通带和阻带都呈现出振荡现象。随着滤波器阶数的增加，幅度函数在通带和阻带振荡的波纹数量也随之增加，波纹的宽度随之减小，然而通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数M无关。窗函数的主瓣宽度决定了 过渡带的宽度，窗函数长度N增大，过渡带减小。
下面介绍一些常用的窗函数，用N=M+1表示窗函数的长度。