表征波面斜率的正交多项式研究(2)
1.2 国内外发展现状
1.3 研究课题简介
本次毕业设计主要是利用泽尼克多项式能够拟合波面的能力，计算和推导出表征波面斜率的正交多项式，该正交多项式也因此包含了波面的信息。当我们只获得波面的斜率数据时，直接计算显得繁琐而且误差可能会很大，为了简化计算过程，我们可以利用得到的正交多项式直接推导泽尼克多项式的系数，这对波面的拟合十分有用。与此同时，本文也探究了泽尼克多项式形式的像差函数的展开，以及泽尼克系数的推导。为了更好地利用现代化技术，本文也从matlab软件的角度出发，对泽尼克多项式系数的推导和表征波面斜率的多项式的求解做出了更加精准地阐述。
2 泽尼克多项式
2.1 正交多项式
多项式构成的正交函数系通称为正交多项式。而对于正交函数系，如果在区间[-π,π]上任意互异的两个三角函数之积的积分为0，我们称这种三角函数构成的体系叫正交函数系。对于正交多项式，最广为传播的例子是切比雪夫多项式,此外还有泽尼克多项式、勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、雅可比多项式等，在函数逼近似、微分方程等领域内它们都发挥着重要的作用。由于 在圆域上是正交的，这种正交又具有反变换的特性，同时它能在表现图像时使得信息的冗余度最小化，而且它的各阶多项式的系数与光学系统设计中的赛德尔像差 (如像散、离焦、 彗差等)系数可以相互转换，这就给选择性地优化光学系统和平衡各种类型的像差提供了合适的手段，因此在圆瞳孔径上常使用泽尼克多项式来对正交基的波前进行重构。
2.2 泽尼克多项式
2.2.1 泽尼克多项式简介
在光学分析程序与光学结构分析两者之间，泽尼克多项式起到了理想的衔接作用，一方面，泽尼克多项式与光学系统像差紧密地联系起来，奠定了分析元件表面或波面的基础，另一方面，它又可以通过最小二乘法和格兰-施密特等算法进行拟合，并借助编程进一步调整和计算，方便快捷。
泽尼克多项式其实是无穷多的多项式的集合，它只有两个变量，泽尼克多项式在单位圆上保持线性无关且是连续正交的。泽尼克多项式在某些情况下可以分为奇偶两项，它用于表示干涉图的波面像差，泽尼克多项式能够唯一性而且归一化地表达圆形孔径的系统波面边界区域。总的来说，泽尼克多项式有着以下其它多项式不具有的特点，这就使得它成为了光学系统设计和像差调整中最合适的工具之一：
(a) 泽尼克多项式在单位圆上的正交性
(b) 泽尼克多项式相对自身的旋转对称性
(c) 泽尼克多项式在一定程度上对应于初级像差，同时与常用于光学设计中的赛德尔像差函数存在互相对应的关系。
泽尼克多项式的价值体现在很多方向上，比如，它们在圆形光瞳上是正交的，同时泽尼克多项式体现出了平衡像差的特点，因此我们可以得到像差的最小方差。同时使用正交多项式的益处也很多，例如可以简单地把某个像差项的标准差直接等同于泽尼克系数。在正交的情况下，计算得到的泽尼克系数的值不受像差函数展开项的数量影响。所以，像差函数中无论是正交项的数量有什么改变，泽尼克多项式的系数都不会变化。
2.2.2 泽尼克多项式的推导
在同样具有圆形光瞳的情况下，有旋转对称轴和没有旋转对称轴会对泽尼克圆多项式的展开产生影响。没有旋转对称轴的情况下比有旋转对称轴时还要考虑到像差函数里的奇数和偶数项，具体情况在下文中会详细阐述。
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