IEEE协议性能分析+文献综述(8)
由于每个站点的退避计数器的取值依赖于它的发送历史，所以随机过程 不具有马尔可夫特性。然而，为了简化，定义 ,令 代表最大退避阶数， 代表最大竞争窗口。我们采用如下表达式 ,其中,退避阶数 ，并令随机过程 表示站点在t时刻的退避阶数。
此模型假定：分组的每次发送都具有恒定并独立的冲突概率 ，与分组经历了多少次重传无关。 是条件冲突概率,表示一个信道上传输的数据包发生冲突的概率。一旦独立性被假设， 就表示一个常量,可以将二文随机过程 表示成离散时间马尔可夫链，如图3-1所示：
图3.1 典型的二文马尔可夫链模型
在这个马尔可夫链中，非零的一步状态转移概率如式（3-1）所示：
其中，第一个公式表示在正常的退避状态下，在每个时隙的开始，退避计数器减1而阶数保持不变；第二个公式表示在一个分组发送成功后，站点为随后的分组启动新的退避过程,此时退避阶数为0，退避计数器的初始值在 范围内按照均匀分布随机选取。第三个公式表示处于第 阶的分组发送失败后，退避阶数加1，退避窗口增加一倍，新的退避计数器的初始值在 范围内随机选取；最后一个公式表示如果退避阶数达到协议规定的最大值，那么在随后的分组重传过程中退避阶数将保持不变。
令 表示马尔可夫链的静态分布.现在对于这个马尔可夫链模型可以得到其闭式解。首先：
(3-2)
由于该链的规则，对于每个 ，可得：
(3-3)
根据式（3-2），由于，所以式（3-3）可以重写为:
(3-4)
因此，通过式（3-2）和（3-4），所有的 都可以表示为 和条件碰撞概率 的函数, 可以由归一化条件推导出，如式（3-5）所示：
(3-5)
从而得到式（3-6）：
(3-6)
我们现在可以推导出一个站点在一个随机选取的时隙中发送数据分组的概率 .因为当退避计数器的值减小到0时，站点就要开始发送数据分组，不管站点所处的退避阶数,所以:
(3-7)
当m=0（即不考虑指数退避的情况）时，发送概率τ的取值将独立于 ,此时,对于常数竞争窗口 ，式（3-7）可以化简为：
(3-8)
然而，一般情况下， 依赖于条件碰撞概率 ，不过 仍旧是未知的。显然，发送的分组发生碰撞的概率 等于在这个时隙中其余 个站点中至少有一个发送分组的概率。在稳态情况下，其余站点都以相同的概率τ发送数据分组。所以可推导出：
(3-9)
式（3-7）和（3-9）表示一个带有两个未知参数τ和p的非线性系统，可以通过数值方式进行求解，很容易证明该系统具有唯一的解。通过对式（3-9）进行变换,可以得到公式 。在 的范围内，该函数是一个连续单调递增函数，从 开始，并增长到 。在 的范围内，公式（3-7）定义的 也是连续的,其在关键点p=1/2处的连续性可以通过将 变换成 来证明，所以， 。另外， 是一个单调递减函数，从 减小到 。由于 且 ，所以可以证明解的唯一性。
3.1.2 系统吞吐量
令 表示归一化的系统吞吐量，定义为信道被用于成功传输信息净荷的时间和总时间的比值。令 表示在所考虑的时隙内至少有一个站点发送分组的概率，由于信道上有 个竞争站点，而且每个站点的传输概率为 ，所以:
(3-10)
设信道上的数据包发送成功的概率为 ，即在至少有一个站点发送数据的前提下，只有一个站点发送数据包的概率，可得：