图像压缩编码的理论算法。

基于 DCT 的 JPEG 图像压缩编码的理论算法和压缩过程的框图，如图 2-1所示。

图 2-1 基于 DCT 编码的 JPEG 压缩过程简化图

图 2-1 是基于 DCT 变换的图像压缩编码的压缩过程，但是解压缩过程是与

上图的过程完全相反的。 在编码过程中，首先是把输入图像的颜色空间转换后分解为 8×8 大小的数

据块，其次是用正向二维 DCT 将每个块转变成 64 个 DCT 系数值，其中有 1 个 数值是直流(DC)系数，其余的 63 个是交流(AC)系数，然后对 DCT 系数进行量化， 最后把量化得到的 DCT 系数进行，这就是图像压缩的过程。论文网

在解码的时候，会先压缩成图像格式，但是要先解码已经编码的量子化 DCT 系数，然后运用逆量化的方法，使用二维 DCT 反变换把 DCT 系数换成 8×8 样 本像块，最后把操作完成的块合在一起变成一个完整的图像，这个就是图像的解 压过程[13]。

2。2 DCT 的基本原理

在压缩算法中，先将输入图像划分为 8×8 或 16×16,的图像块，对每个图 像块作 DCT 变换；然后舍弃高频的系数，并对余下的系数进行量化以进一步减 少数据量；最后使用无失真编码来完成压缩任务。解压缩时首先对每个图像块做 DCT 反变换，然后将图像拼接成一副完整的图像。

DCT 的定义 :

DCT 变换利用傅立叶变换的性质，采用图像边界褶翻将图像变换为偶函数形 式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项，所以称之为离散余 弦变换。

二维离散余弦变换 DCT(Discrete Cosine Transform)的定义为,假设矩阵 A 的大小为 M ×N。

其中 B p q 称为矩阵 A 的 DCT 系数。在 MATLAB 中，矩阵的下标从 1 开始而

不是从 0 开始的，所以 MATLAB 中的矩阵元素 A(1,1)和 B(1,1)分别对应于上面 定义中的值 A00 和 B00    ，

依此类推。 DCT 是一种可逆变换，离散反余弦变换定义如下：

上式的含义是任何 M×N 的矩阵 A 都可以表示为一系列具有下面形式的函 数的和：

B  cos (2m 1) p cos (2n 1)q

 p q pq 2M 2N

0 p M 1,0 q N 1

这些函数称为 DCT 变换的基函数。这样， , Bp。q 就可以看成是应用于每 个基函数的加权。

DCT的算法 ： 离散余弦变换可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太大，在实际应

用中很不方便。所以需要寻求一种快速算法。以一维离散余弦变换为列，对快速 算法进行推导。

对时域数据向量做如下列延拓：

当 x=0,1,2，。。。。。。。。。N-1 fe(x) =f(x) 当 x=N，N+1，。。。。。。。。2N-1 时 fe(x)=0

则 fe(x)的离散余弦变换可写成下列：

由上式可见：是 2N 点的；离散傅里叶变换所以在离散余弦变换时，可以吧序列长度延拓 为 2N，然后作离散傅里叶变换，产生的结果取其实部即可得到余弦变换。

同理对于离散余弦变换 IDCT，可首先在变换空间将[F(u)]作如下延拓： 当 u=0,1,2,3，。。。。。。。。N-1 时 Fe（u）=F（u）

当 u=N,N+1，N+2,。。。。。。。。。,2N-1 时