毫秒激光致铝靶熔融液体喷溅的角度(3)
(2.1)
其中 >0，为介质内部的热传导系数。 则是温度沿着 面的法向微商。为了讨论热传导，假设在介质内的任一小区域 ，边界面 为封闭的曲面。在 到 的时间段内，通过面 传进 的热量是：
(2.2)
通过矢量积分定理，可以得到：
(2.3)
其中 为哈密顿算子，介质的比热容是 ，密度是 ，则在小体积 内温度的变化导致消耗的热量为：
(2.4)
假设在体积 内热源的密度是 ，即在 时刻的点 处，单位体积的热源在单位时间内产生的热量。其内部热源产生的热量总量是：
(2.5)
根据能量守恒定律，可以得到：
(2.6)
接着可以得到：
(2.7)
由于体积和时间是任取的，可以推出：
(2.8)
式(2.21)便是各向同性介质并且微元内含有热源时的热传导方程，也称作三文非齐次热传导方程。为了简化上式，假设介质是均匀的， 、 、 都是常量。同时假设体积 内没有热源，即 ，得到：
(2.9)
式(2.22)便是各向同性介质并且没有热源时的热传导方程，也称作三文齐次热传导方程。式中 为拉普拉斯算子，式(2.22)也可以写为:
(2.10)
其中 。
热传导方程描述了在一个区域内温度如何随时间变化的问题，其解的特质，体现了热量从温度高的地方向温度低的地方进行传播的过程。对于一般情况而言，众多不同的初始状态会趋向于一个热平衡的稳态。但是无论时间间隔有多么短，想要从现有的热分布情况来反解初始的状态，是一件非常困难的事情。但是只要得知初始条件，热传导方程便可以比较简单地得到各个时间段的解，从而得到温度分布的情况。因此可以说热传导方程是一个相当重要的偏微分方程，了解此方程的应用便为实际的研究提供了非常大的帮助。