本福特定律在核数据中的应用(3)
（3）
如：前两位数分别为5和3的概率是lg（1+1/53），前三位数分别为7，4和3的概率是lg（1+1/743），等等 。
2.Benford定律在对数空间下的意义
1881年Newcomb指出 ：Benford定律可以认为是一种指数的尾数在对数化后均匀分布的规律；也即若将数据均写成 的形式，其中 为整数， 为小数，则 在 上的均匀分布等效于Benford定律下的首位数分布，这就是Benford定律在数据集取对数后时候的意义。
3.Benford定律的标度不变性
1961年，Pinkham指出，Benford定律具有标度不变性 ：凡是符合Benford 定律下的分布的数据，乘以任意一个非零的实数后也是符合Benford定律的。任一典型Benford定律数据 乘一个非零正数 ，由于对数的性质 ，根据Benford定理在对数化以后的性质就很容易能得到标度不变性。事实上，Benford定律是唯一一个具有标度不变性的有关数位的定理 。在物理学上，标度不变性代表这个定理不依赖具体的物理单位，Burke以及Kincanon的关于物理常数在国际单位制下的讨论对于这点有很清楚的解释 。因而，这意着在研究Benford定律时，任何计量单位都不受 的影响，从而在某些情况下减少了许多麻烦。
4.Benford定律的整数幂次不变性
对于任意的非零正整数n，由 ，典型的Benford 数据库的非零整数次幂满足Benford定律 。例如，根据定义，强子宽度 与强子寿命 之间存在关系； = ，其中 为约化普朗克常数，则 。另外通过标度不变性和整数幂次不变性容易知道，强子寿命 同样满足Benford 分布 。
5.Benford定律的基数不变性
Benford定律下首位数分布具有基数不变性 。如果数据集在十进制下满足Benford定律，将其转换成d进制后满足基数为d的Benford分布：
（4）
Hill在概率论框架下，从数学上证明了“标度不变性意着基数不变性”和“基数不变性意着Benford 分布” 。另外，前n位数遵循Benford定律下的分布也能够看作是100进制（前2 位数）、1000 进制（前3 位数）下的类似结论。