有限元法的基本思路是：先将计算对象离散化处理，即划分为有限个小单元。并构造适当的位移函数，然后根据最小位能原理把泛函求极限的问题化为等效的线性方程组，解该线性方程组即可求得节点位移，根据所得节点位移便可进一步计算所需的应力与应变得数值解。与一维问题相类似，对于二维、三维问题的有限元法也都是遵循这一基本思路。

为了清楚地说明有限元法的概念，通过一简单的受力杆来说明有限元法进行构件压力分析的基本思路。图2-2a所示是长度为l，截面积为A，弹性模量为E的均质等截面拉杆，一端固定，一端受拉力F，这是材料力学中的简单拉伸问题。

               图2-2                                     图2-3

以下分几步来说明有限元法的基本思路:

（1）把杆划分成有限小段（n-1段），如图2-2b所示，段与段之间以节点[ ， ]，（i=1，2，……n-1）相连。

（2）构造位移函数u（x），根据材料力学的知识可知，对于等截面拉杆，u（x）= ，且满足边界条件：u（0）=0；u（l）=Δl。

有了位移函数即可求出应变函数ε= 和应力函数σ=Eε=E 。论文网

然而实际工程问题往往不是这么简单，例如图2-2c所示变截面的直杆，就很难找到适合于整个计算区域并满足边界条件的位移函数，这时可以将它分成若干个小段，每段之间用插值函数来构造位移函数，这样就使每个单元中的位移都可以用节点位移和节点坐标来表示。例如对于 单元[ ， ]，两端节点位移为 ， ，若单元内取为线性插值函数，如图3-3a所示，则有：

                （2-1）

如果各节点的位移均为已知，则对整个杆件可构成图2-3b所示的折线线图。

（3）弹性体的位能。对于直杆单元体，受载后的变形能为

                  （2-2）

将式（3-1）代入式（3-2）则可写成

对整个杆则有

                                  （2-3）

上式即为变形能与节点位移的关系式。

弹性体的总位能还应包括节点载荷（外力）的位能，其表达式可写为V=-W=-Fu对于所有外力位能与节点位移的关系式则为

                 （2-4）

因为弹性体的总位能包括变形能和节点的载荷位能这两部分，故可写出弹性体总位能与节点位移的关系式

      （2-5）

（4）利用最小位能原理导出关于节点位移的线性方程组

弹性力学中的最小位能原理，是指受载后处于平衡状态下的弹性体，在其一切可能的变形形态中，真实的变形形态应当使弹性体的总位能Φ为最小。

根据上述原理，各节点的位移 不是任意的，而应该是一切可能位移中使弹性体总位能为最小者，因此，这是一个求泛函数Φ（总位能）极值的问题，将Φ分别对各个节点位移取偏导数为零，则可得

      （i=1，2……n-1）  （2-6）

这样即把二次函数求极值的问题转化为一个等效的线性方程组。若令

Δi= ，li= 以及 ，则方程（2-6）为

                                               （2-7）