Riemann Solution of Compressible Euler Equations(2)
的基本方程是欧拉方程，它由质量、动量和能量 3个守恒律组成，它的最大特点和困
难在于解中会出现间断现象，激波就是一种压缩性的间断。
1.2Riemann问题叙述
关于 Riemann 问题最早的研究是 1860 年 Riemann 本人做的激波管的试验，并研
究了—文等熵流方程组的初值问题，提出两段常数的初值条件(Riemann 问题)，并构
造出含激波和疏散波的解．以后R．Courant 和K．O．Friedrichs 把结果推广到了绝
热流方程．因为人们发现对于非线性双曲守恒方程无论初值给的多么光滑解都有可能
产生间断，因此初值给成分片光滑的形式是自然的．1858年，黎曼紧紧抓住了间断现
象这一特点，提出并解决了欧拉方程一种最简单的间断初值问题（即初值为含有一个
任意间断的阶梯函数），被后人称为黎曼问题。黎曼构造出了它的 4 类解，它们分别
由前、后向疏散波（记为 和 ）和前、后向激波（记为 和 ）组装而成，即（ 或 ）
＋（ 或 ），并利用相平面分析方法给出了此 4类解的判别条件。黎曼的这一工作开创
了微分方程“广义解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有极大的超前性。黎曼
用敏锐的洞察力和巨大的原创力为非线性双曲型守恒律的数学理论奠定了第一块基
石。1975年美国出版的《科学传记词典》中的《黎曼传》称，这一工作是“黎曼在数
学物理方面最好的工作”。 1.3研究可压缩欧拉方程黎曼解的意义
最后，虽然前人在这方面已经取得了丰硕的成果，鉴于欧拉方程的重要性，但
自己希望在这方面再做一些探究，总结探索出一些新的知识点。
1.4简述可压缩欧拉方程黎曼解的研究
本文将首先对一些基本的知识点比如：双曲型方程、burgers 方程、激波、疏散波、
欧拉方程。
2 双曲守恒律方程组解的定义
2.1双曲守恒律方程组
对于一文空间变量的偏微分方程组： 是关于 t 和 x 的 n 文矢量函数，称为守恒量或状态量，如流体动力学中的质量，速度
能量等．更精确点就是 是第i 个状态变量的密度函数， 表示该状态
变量在区间[ ， ]中 t 时刻的总量．我们称这个状态变量是守恒的是指
关于t 是不变的。 称为流函数。
该守恒型方程是由物理定律在任意两点 和 之间如下形式积分得到的[1]
方程表示在区间[ ， ]中的总流量(如质量，动量．能量等)的变化仅仅与两端点处的
流量有关，这就是守恒的基础，其中 和 分别表示在 和
点的流入流出量。
2.2解的定义
对于上述方程组，若其 n*n的雅可比矩
(2.4)
的特征值 都是实数时，方程组称为双曲的；当所有的特征
互不相等时，则称方程组为严格双曲型，此时 的特征值可以
按大小顺序排序为： < < < [2]
。
与矩阵A(u)的特征值 对应右特征向量记为 ，有关系A(u) = 成立．全
体 构成一个完备的向量空间。 2.3Riemann不变量与简单波
方程（2.1）可以重写为
ut+ A(u)ux = 0, (2.6)
则对于每一种特征值 i就决定了一特征方向 ri(u)，并对应着一个特征场。而每个特征
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