线性时滞系统的多目标控制器设计与仿真(2)
对于线性时滞系统，我们有很多性能指标来衡量系统的性能，如 性能， 性能，耗散性能等。对于给定的系统方程，其相关参数选取不同值时系统表现的是不同的性能，而我们的任务是在保证线性时滞系统稳定的前提下，寻找合适的控制器增益K，使得系统在此控制器的控制下其性能能够满足尽可能多的性能指标。为方便研究，我们仅考虑 性能， 性能，耗散性能。我们引用了一个新的性能指标 ，此性能指标涵盖了 性能， 性能，耗散性能。当 中的参数取相应的值时，其表达的性能即为相应的性能指标。
本论文致力于研究线性时滞系统的控制器设计，即根据给定的系统方程求解合适的控制器增益K，使得系统在此控制器的作用下能够保持稳定，且满足所要求的性能指标。
为解决在能量有界扰动时使得系统渐近稳定的反馈控制器的设计，我们提出了两个判断系统稳定并符合所求的系统性能指标的定理，并且通过严谨的推导证明它们的正确性。通过这两个定理，我们可以得出满足性能指标的反馈控制器的存在条件，此条件以线性矩阵不等式的形式给出；继而通过矩阵变换，包括Lyapunov-Krasovskii泛函方法和线性矩阵不等式技术等来推导出期望的控制器的存在条件并给出具体的算法。
本论文在最后根据前面阐述的定理选取了具体的数值算例，构造不同情况下的系统方程。根据系统渐近稳定的前提，合理地调试系统的相关参数。由于系统稳定及其符合性能指标的要求是以线性矩阵不等式的形式给出的，因此我们使用MATLAB软件编程来编写求解线性矩阵不等式的程序，在编程过程中调整参数数据，使得系统状态，输出信号，系统性能等都保持合理。并且根据已知的系统方程及所求的各指标绘制，用Simulink绘制仿真图，并将结果在MATLAB里显示出来，进而验证结果的正确性与方法的有效性。
2 问题描述
考虑如下带有延时的典型线性时滞系统，
其中 为系统状态， 为 时的扰动输入， 为待测量， 为经过反馈控制器的反馈量，为求稳定，本论文讨论闭环系统下的控制器设计，而在闭环系统中 ，此时系统方程为：
论文的任务是：
1）判断系统稳定条件：
2）求解合适的反馈控制器的算法，使得系统满足以下性能指标：
其中 并且矩阵满足以下条件：
注： 为新引进的性能指标，它涵盖了 性能， 性能，被动性以及耗散性能指标等：
如令 此时该性能就变成 性能指标；
如令 则该性能变为 性能；
如令 则该性能变为耗散性能。
3 理论推导
3.1 定理1
定理1：给定 ，满足条件1),2)和3)，如果存在 ，使得
则闭环系统是稳定的并且满足性能指标：
（6）
证明： 假设定理的条件成立，我们应用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理来证明闭环系统的稳定性和性能约束。为此，我们构造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：
根据定理1的条件，我们知道 。由此我们可以得到
现在，我们基于上面得到的条件，来证明闭环系统的稳定性。此时，我们考虑无扰扰动系统，也即是 时的系统模型。根据 的定义，我们不难发现，当 时， 。又根据假设条件2），我们有 。由此我们可以得到
从而得到
由此可知，当 时闭环系统（2）是渐近稳定的。
下一篇：四旋翼飞行器的姿态滤波算法研究