Matlab一级倒立摆的模糊控制系统设计仿真(4)
对于倒立摆系统，由于系统本身是恒不稳定的系统，实验建模存在诸多难点，因此，为了有效建立倒立摆系统的数学模型，一般做出如下几点假设：
（1）倒立摆、小车和导轨一律视为刚体；
（2）倒立摆系统的各部分摩擦力正比于相对速度；
（3）功率放大器上的输入电压正比于小车驱动力；
（4）传送带与皮带轮间没有滑动现象，且传送带没有伸长现象；
（5）控制力与控制信号的传递无时延。
基于上述5点假设，倒立摆系统能够可以简化为小车和均匀质杆组成的系统。该简化后的系统可以分解为小车和摆杆别分受力的模型，如图2.1所示。目前的建模方法中基于牛顿力学的动力学建模属于机理建模方式，而基于Lagrange方程的动力学建模属于实验建模方式。
图2.1 倒立摆系统简化图
在进行建模前，还需要定义如下几个变量：
M 小车质量
m 摆杆质量
b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量
F 加在小车上的力
x 小车位置
φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
N 小车与摆杆相互作用的水平分量
P 小车与摆杆相互作用的垂直分量
L 拉格朗日算子
q 系统的广义坐标
T 系统的动能
小车的动能
摆杆的动能
摆杆的平动动能
摆杆的转动动能
V 系统的势能
Xpend 摆杆质心横坐标
Ypend 摆杆质心纵坐标
2.2 基于牛顿力学的动力学建模
采用牛顿力学对倒立摆系统进行动力学建模首先要对倒立摆系统进行受力分析，对倒立摆系统的受力分析又可以分解为对小车和摆杆分别受力分析[5]，如图2.2所示。图中所示的矢量方向是正方向。
图2.2 倒立摆系统受力分析
对图中小车水平方向的合力，可以得到如下方程： （2.1）
再对摆杆的水平方向所受合力（2.2）
也可以写作： （2.3）
将方程（2.3）代入（2.1），可以得到： （2.4）
在完成了对小车和摆杆水平方向的受力分析，得到了第一个运动学方程后，再对小车和摆杆的垂直方向进行受力分析，可以得到：
则得到的力矩平衡方程如下所示：（2.7）
因为力矩是矢量，带有方向，且由于θ =π +φ ,cosφ = −cosθ ,sinφ = −sinθ，所以在方程（2.7）中带有“.”符号。
合并方程（2.5）到（2.7），可以得到第二个运动学方程，如下式所示：
（2.8）
此时，需要再做两个假设来对上述得到的两个运动学方程进行线性化处理。两个假设分别是：（1）θ =π +φ；（2）φ <<1。由此可以对等式进行近似处理：cosθ = −1，sinθ = −φ， ，得到如下线性化方程：（2.9）