Matlab一级倒立摆的模糊控制系统设计仿真(5)
式中被控对象的输入力F由u表示。再对上式进行拉普拉斯变换，假设初始条件都为0，则可以得到: （2.10）
对第一个方程进行求解可以得到： （2.11）
或者可以写为：
（2.12）
此时，令v = x，可以得到：
（2.13）
将方程（2.13）代入（2.10）中的方程2，则可以得到；
（2.14）
对上式进行整理，便可得到传递函数：
（2.15）
式中 。
假设系统的状态空间方程为：
（2.16）
令 ，可以得到所需的方程式：
（2.17）
2.3 基于Lagrange方程的动力学建模
采用Lagrange方程对系统进行动力学建模，首先令拉格朗日方程为：
（2.18）
式中， i＝1，2，3……n， f i即为系统在第i 个广义坐标上所受到的外力。一级倒立摆系统有三个广义坐标，分别是x，θ1。
系统的动能可以表述为下式：（2.19）
式（2.19）中， 为小车的动能，其相关方程为： （2.20）
摆杆的动能可以由下式得到：（2.21）
另外，由于 （2.22）
那么摆杆的平动动能和转动动能可以写成下式： （2.23）
则摆杆的总动能即为：