传染病动力学生物系统建模与仿真+文献综述(3)
同样基于KM假设，把某地区人口分为两类：S类（易感类）和I类（染病者类），建立SIS传染病模型：
其中 为传染率， 为平均染病周期。
在这两个模型的基础上，人们对模型不断加以改进来研究各种传染病问题，研究模型的平衡点的存在性和稳定性，对其传播规律和流行趋势进行探讨。
遵循这样的建模思想，可以得到以下模型
1、SI模型（患病后不可治愈）：
其中 为传染率
2、SIRS模型：免疫类的人群中有些会失去免疫力而重新变成易感者
其中 为传染率， 为移除率， 为免疫者丧失免疫率。
3、SEIR模型：若易感者受感染之前进入潜伏期，并且在潜伏期内的感染者不具有传染力，记t时刻潜伏期的成员数为 ，其中 为传染率， 为移除率， 为平均潜伏周期，则可得SEIR模型：
4、SEIRS模型（病人康复后仅有暂时的免疫力）：
其中 为传染率， 为移除率， 为平均潜伏周期， 为免疫者丧失免疫力率。
5、SIQS模型，对疾病流行防治的最有效的方法就是对易感者接种疫苗和对患者隔离，设置一个隔离仓室Q，而假定患者经隔离区后再进入S类或R类。
其中 为自然死亡率， 为因病死亡率， 为传染率， 为I类恢复率， 为隔离率， 为隔离率的恢复率。
6、SIQR模型
7、SISV模型，设置接种仓室V，此类成员具有一定时期的免疫力：
其中 为平均免疫期，r为出生率，q为新生者被接种的比例，p为易感者被接种的比例， 为种群的自然死亡系数。
随着生物动力学的发展，以及实际应用的需要，人们对模型不断改进以适应新出现的传染病的不同特点。KM的“仓室”模型中假设所研究的地区人口总数是一常数，即不考虑人口的出生率、死亡率以及人口流动等因素。而实际上人口的总数是随着时间而改变，许多流行病具有Logistic增长的特征，因此把传染病动力学模型和种群动力学模型结合起来更加符合实际情况，另外人们还把具有常数输入率，指数出生率和死亡率以及一般的种群增长方程引入模型研究之中。
以SIS模型（2）为例，在传染病动力学模型基础上加入种群动力学因素：
1、常数输入率：
其中A为种群输入率， 为种群自然死亡率系数。2、Logistic增长：
其中d表示因传染病而引起的死亡率。
有些疾病是分阶段发展的，根据染病者在不同阶段具有不同传染力建立带有阶段结构的传染病模型，把传染病分为急慢性两个阶段进行讨论，也有些疾病只在一定的年龄阶段传播，如手足口病只在幼儿间传播，年龄对于种群增长规律与传染病流行规律都是一个重要因素，不同年龄段的物种具有不同的生育率和死亡率等种群动力学因素，同时年龄也会影响传染率，康复率等疾病传播因素。种群迁移在传染病的传播中也是一个不容忽视的问题，如流感，SARS等疾病很容易随着人员流动传播到另一个地区。
我们用动力学的方法研究传染病的目的在于更加深入地了解传染病的流行规律，从而采取有效的控制策略为流行病的预防和控制工作提供理论依据，接种就是预防传染病的重要手段。一些疾病来势汹涌，如2003年爆发的“非典”，在提高治愈率的同时对重症患者进行隔离，可以对传染病实现良好的控制。
2.2 预备知识
考虑自治二文系统： （3）
定义1：若点 使 ， ，则称 为系统（3）的平衡点。