传染病动力学生物系统建模与仿真+文献综述(4)
定义2：若点 是系统的平衡点，若 对的任一邻域U，存在 的一个属于 的领域 ，使（3）的每一条轨线 ，若有 ，则对一切 ，有 ，则称平衡点 是稳定的；否则称为不稳定的。如果 稳定且是吸引的，则称平衡点 是渐近稳定的。
引理：当系统（3）的Jacobian矩阵 的所有特征值都有负实部时，系统（3）的平衡点 是渐近稳定的。
Routh-Hurwith定理：设 是实系数的多项式，设 是n文的方阵。其系数 定义如下：
设 的第i个顺序主子式行列式，则Routh-Hurwith定理为：
（1）代数式的所有解都有负实部 对所有 ， 均为正
由前知而 是 第i个顺序主子式，则有 ，因此对定理中的条件：对所有 ， D对所有 。
Dulac定理：若有函数 ，连续且有连续的偏导数，使得系统（3）在单连通区域D内 不变号，且在D内任一子域不恒为零，则系统（3）在D内无闭轨。
基本再生数 ：在一个易感染群体（所有成员均为易感者）里，一个典型的已感染个体在平均患病期间内所造成的下一次感染病例数”。如果 ，那么一个感染个体在其感染期内平均感染不到一个的其他个体，而这个感染不能蔓延。相反地，如果 ，那么这个个体平均感染超过一个其他个体，这个疾病将蔓延至整个种群。对单独一个感染仓室，仅仅是一个感染率和疾病平均持续度。然而，对一些更复杂的模型，如包含多个感染仓室的模型，还包含他们之间的相互影响作用，本文将不会涉及。
引理：对于 （4），假设 是光滑函数，记 则有下述结论成立：
（1）如果 ，则 是（4）的正向不变集；
（2）如果 ，则 是（4）的正向不变集；
3 模型及其求解
3.1 基本SIS模型
对前述的SIS模型（2） 为方便起见，令 ，将 代入第二个方程，得：令 ， 为接触数。
由方程作图易知，当 时，系统有无病平衡点（1,0）， ，随着时间t的增加 逐渐减少并趋于0，该传染病不会流行。这是因为传染期内经有效接触使易感者变成患者不超过原来患者的缘故。当 ，系统有两个地方病平衡点 ，随t的增加 趋向于 ，疾病会在这个地方蔓延形成地方病且患者数目将最终保持为 ， 即为该传染病在该地区的阈值。
3.2 带有阶段结构的SIS模型
由于各种传染病的内在病理和机理的不同，在疾病的传染病过程中体现出不同的特征，如乙肝，风疹等传染病在不同阶段具有不同的传染力，因此具有阶段结构的传染病模型的研究是十分必要的。本文将总种群分为三个群体：易感者（S类）和两类染病者群体（ 类）和（ 类）， 类为轻度患者， 类为重度患者，所有易感者与染病者接触并传染后按一定比例进入种群 ，而两类患者治愈后又重新成为感染者，随着病情的发展，轻度患者可发展成为重度患者，并且种群个体不会因染病死亡，基于以上假设可得到如下模型：
（3.2.1）
其中 ， ， 分别表示t时刻易感者，轻度患者，重度患者的数量，A为种群输入率， 表示种群的自然死亡率， （i=1,2）表示染病群体 的传染率， （i=1,2）表示染病群体 的恢复率， 表示轻度患者发展为重度患者的速率。所有参数均为正数。
令 由系统（3.2.1）易得：
同时系统（3.2.2）有如下极限系统：
为方便记 ，
则有系统
定理3.2.1：令 ，则 为系统（3.2.4）的正向不变集。
证明：由系统（3.2.4）易知
所以定理结论成立。
以下将在区域 上讨论系统（3.2.4）动力学行为。