摘 要：取整函数 是常见的数论函数，本文根据取整函数的定义，总结了取整函数的相关性质，结合小数函数 ，归纳了取整函数在集合，数学竞赛，微积分和初等数学中的应用。

毕业论文关键词： 取整函数，小数函数，性质，应用93851

Abstract：Integral function  was a common number theory function。 In this paper,according to the definition of the integral function, the correlation properties of the integral function were summarized。 Combined with the decimal function , the application of the integral function in the set, the mathematical competition, the calculus and the elementary mathematics was summarized。

Key words： integral function,decimal function,nature,application 

目    录

1 取整函数 以及小数函数 的定义 4

2 取整函数 的基本性质及证明 4

3 取整函数 以及小数函数 的图像及其性质 6

4 取整函数 在解题中的应用 7

4。1 取整函数 在集合中的应用 7

4。2 取整函数 在数学竞赛中的应用 9

4。3 取整函数 在微积分中的应用 12

4。4 取整函数 在初等数学中的应用 14

结论 19

参考文献 20

致谢 21

取整函数 是一个非常有趣的数论函数，取整函数是指在不大于实数 的整数的最大数据叫做 的整数构成，记作 。 取整函数 在几百年前就已经被著名数学家高斯发现并运用，所以其又被称作高斯函数，这是为了纪念他杰出的数学贡献。 高斯函数在初等数论，数学分析等课程有重要的应用。 本文针对取整函数的实际概念、题型和步骤等进行分析。 

1  取整函数 以及小数函数 的定义

    定义1[1] 设 是任一实数，满足 ， ， ，这样的 记为 ，即 意味着不大于 的最大整数,称 为取整函数（也叫高斯函数）。

    取整函数 有如下结论：

    1） 是整数；

    2） ；

    3） ；

    4） 。 

    定义2[1] 对于任一实数都能写成其对应的整数部分与非负纯小数之和，即

 ， 为 的小数部分，也就是 ，称 为小数函数（也称去整函数）。根据 ，知 ，同理可得，如果 ，那么自然有 。 

2  取整函数 的基本性质及证明文献综述

    由取整函数的定义得出以下性质，假设 ,存在：

    性质1[2]  。

    性质2[2] 若 则 。

    性质3[2] 若 ， 。

    性质4[2] 

    性质5[2]  。

    性质6[2] 若 ， 。

    性质7[2]  。

    利用如上性质可得：

    定理1 若   ， ，则 。

    证明 由  ，两边乘以 得

 ，

因为 ， 均是整数，因此    定理2  如果 ， ，那么在1到 的基础整数之内， 的倍数存在 个。

    证明 由 ，两边乘以 得 

 ，

因此，在1到 的对应整数之中， 的具体倍数是 ，2 ， ， ，它们共有 个。