有序环与有序域+文献综述(3)
1. (R, +)形成一个交换群，其单位元称为零元，记作‘0’。即：
• (R, +)是封闭的
• (a + b) = (b + a)
• (a + b) + c = a + (b + c)
• 0 + a = a + 0 = a
• ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
2. (R, •)形成一个半群，即：
• (a•b)•c = a•(b•c)
• (R, •)是封闭的
3. 乘法关于加法满足分配律：
• a•(b + c) = (a•b) + (a•c)
• (a + b)•c = (a•c) + (b•c)
其中，乘法运算符•常被省略，所以 a•b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b•c)。
考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：
• ∀a∈R，a•0 = 0•a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元”）'
证明:a•0 = a•(0 + 0) (环的结合律) = a•0 + a•0 => a•0 - a•0 = a•0 + a•0 - a•0 (环有加法逆元) => 0 = a•0 ； 0•a 同理
• ∀a，b∈R，(-a)•b = a•(-b) = -(a•b)；
证明: (-a)•b = (-a)•b + (a•b) - (a•b) = (-a + a)•b - (a•b) (环的结合律) = 0•b - (a•b) = -(a•b) ； a•(-b) 同理，故(-a)•b = -(a•b) = a•(-b)
其中还有一些特殊的环：
幺环 若环R中，(R, •)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1•a=a•1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, •)的幺元1，亦称为环R的幺元。
无零因子环 若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。
此定义等价于以下任何一条：
• R\{0}对乘法形成半群；
• R\{0}对乘法封闭；
• R中非0元素的乘积非0；
整环 无零因子的交换幺环称为整环。 例：整数环，多项式环
唯一分解环 若整环R中每个非零非可逆元都能唯一分解，称R是唯一分解环.
除环 若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a-1∈R\{0}，使得a-1•a=a•a-1=1。则R称为除环。
• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
• 非交换的除环是体。
• 交换的除环是域。
主理想环 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。
单环 若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。
交换环 若环R中，(R, •)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。
域
到当前书本上出现过三种对域的不同定义，
第一种定义：设F是一个有单位元e1（≠0）的交换环（即对于乘法运算可交换）。如果F中每个非零元都可逆，称F是一个域。比如有理数域，剩余类域，典型域，有理函数域，半纯函数域等等。
第二种定义，设（R，+，•）是环，如果（R，+）和（R-{0}, •）都是交换群（“0”为（R,+）的幺元）且满足分配律，则称（R，+，•）是域。比如：有限整数环（R，+，•）必是域。
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