MATLAB期权数值解算法及股票预测模型(3)
由该式．从θ的初值可以计算出θ在时间 后的值, 由 后的值计算出θ在2 后的值……这样便得到变量θ的一条路径, 其终值对应衍生证券价格的一个样本终值．它可以看成是终值集合中的一个随机样本．使用同样方法, 可以得到大量样本终值．求所有这些终值的算术半均值, 可得衍生证券终值的近似值, 再以无险利率对这个终值贴现, 即可得出衍生证券的价格．
当存在多个标的变量时, 处理方法类似．假设衍生证券收益与n个标的变量 (1≤i≤n)有关, 定义 为标准差, 是在风险中性世界中的预期收益率, 是 和 之间的瞬间相关系数．将衍生证券的有效期分成N个长度为 的时间段．则 的离散过程形式为
(2.1.3)
式中 是标准正态分布的随机样本, 和 的相关系数是 (1≤i, j≤n)．根据式(1.1.3), 对标的变量 的路往进行模拟, 每一次模拟都要从多文标准正念分布中随机抽取 (1≤i≤n)的N个样本, 然后代入式(1.1.3)后可产生 的路径．由此, 可以计算衍生证券的价格．
蒙特卡罗法的优点是：(1)可用于衍生证券收益与标的变量路径和终值均有关的场合；(2)当回报依赖于多个标的变量时, 运行效率相对而言较高；(3)善于处理报酬形态很复杂的场合．蒙特卡罗法的缺点是：计算速度较为缓慢, 且较难处理有提前行权情况的衍生证券．
2.1.2. 蒙特卡罗法的应用
(1) 对数正态分布随机变量的模拟
在实际应用中, 对标的变量S的对数lnS抽样通常比对S直接抽样更为精确．根据伊藤引理, lnS服从过程
(2.1.4)
式(2.1.4)的离散形式为
,
等价于
(2.1.5)
如果当前是t时刻, 期权的到期日是T, 时间步长为 , 则在已知 的条件下, 标的变量在T时刻的值为
(2.1.6)
分析: 式(2.1.5)或式(2.1.6)用来模拟价格 或 的路径．在两式中, 其他量均已知, 仅随机数为 未知量, 任意抽取一个随机数 , 就给出了一条价格路径．随机数的生成函数是事先编译好的．
(2) 欧式期权定价
对于标的资产价格是 , 行权价格是X的欧式看涨期权. 在期权到期日T的价格为
(2.1.7)
在风险中性的世界中, 用无风险利率r贴现, 得期权在t时刻的价格为
(2.1.8)
在式(2.1.8)中, 只有 与 有关, 标的资产价格在时间 内的取值与 无关．所以, 只要模拟 得到一系列值 , 再将 (i=1, 2, …, n)代人式(2.1.8)得到n个 值并求出的平均值, 然后用无风险利率r贴现, 就可得出欧式看涨期权的价格, 即