MATLAB期权数值解算法及股票预测模型(5)
,整理后得
在时间区间 内股票价格变化的方差是 ．根据方差定义, 变量x的方差等于 , 则
式(2.2.1)和(2.2.2)为P, u, d的确定提供了两个条件．还有第三个条件, 即
由式(2.2.3)～(2.2.7) 可以构造出股票价格的树形结构, 称之为股票的二叉树图．0时刻的股票的价格是S, 在 时刻, 股票的价格有两种可能：Su和Sd；在2△t时刻, 股票的价格有三种可能： . ．依此类推, 一般情况下, 在i△t时刻股票的价格有i+1种可能, 即
, (2.2.8)
注意, 在计算图中每个结点的股票价格时, 使用了 的关系．例如, ．还要注意的是股票价格先升后降与先降后升得到的值一样, 也就是树枝在结点上重合．
完成了上述二叉树之后, 就可以通过二叉树倒推来计算期权的价格．由于T时刻的期权价格已知, 所以在风险中性的世界里 时刻每个结点上的期权价格都可以用T时刻在 时间内无风险利率的贴现求得； 时刻每个结点上的期权价格可以用 的价格在 时间内无风险利率的贴现求得．以此向后倒推, 通过各个结点．最后就得到在0时刻的期权价格．
(2) 二叉树法的解析式
假设一个不支付红利股票的美式看跌期权的权利期间被分成N个长度为 的小时间段．设 为i 时刻股票价格为 (0≤i≤N, 0≤j≤i)时的期权价格, 也称为结点(i, j)的期权价格．由于美式看跌期权在到期日的价格为 , 所以
(2.2.9)
假设在 时刻从结点(i, j)向(i+1) 时刻的结点(i+l, j+1)移动的概率是P；在 时刻从结点(i,j)向(i+1) 时刻的结点(i+1, j)移动的概率是(1-P)．若不提前行权, 在风险中性世界里期权的价格为
． (2.2.10)
考虑行权时, 式中的 必须与看跌期权的内在价值进行比较, 因此有
． (2.2.11)
注意：因为计算是从T时刻倒推来计算期权价格的, 所以 时刻的期权价格不仅反映了在 时刻提前行权对期权价格的影响, 也反映了在以后的时间里提前行权对期权价格的影响．
(3) 二叉树法的计算步骤
根据上述二叉树法的基本原理和二叉树法的解析式, 给出如下汁算衍生证券价格的步骤：
(1)将衍生证券的有效期分成N步等问隔时间段, 每步步长 ．这样需要考虑N+1个时间点： ．
(2)计算二义树的参数P, u和d．
(3)构建二叉树．
(4)通过二叉树倒推计算期权的价格．
注 如果是美式期权, 要在二叉树形图的每个结点检查在这一结点行权是否更有利．
2.2.2. 无收益资产的期权定价
(1) 欧式期权的定价
欧式期权价格可直接由Black-Scholes期权定价公式给出, 但是为了说明如何开发二叉树法程序并将二叉树法的计算结果与Black-Scholes期权定价公式给出的结果进行比较, 给出相应的程序供大家参考．
程序2.2.1 欧式看涨、看跌期权定价的二叉树法．