矩阵复原问题的可解性研究(3)
(1.5) ，
其中， 和 是独立的服从分布P的一些随机矢量，zi 是随机性误差.按(1.1）中的线性映射 中，可以被定义为
(1.6) ，
由于测量矩阵 是秩一的，我们称模型（1.5）为“秩一投影”（ROP）模型.很容易看出，ROP模型（1.5）中测量矢量需要的存储空间为是 ,所需的字节数比高斯系综所需的 的存储空间小很多.
我们首先通过考虑在无噪声的情况下精确恢复低秩矩阵的问题，在第2节建立充分辨识条件.结果表明，有很高的概率具有 的随机映射的ROP模型确保可以通过约束核范数最小化方法实现所有秩R的矩阵的精确复原的.由于秩r矩阵 需要 的自由度，所以对任何线性测量模型来说测量所需数量的最优率是 .据统计资料表明，高斯有噪的情况比较受欢迎.我们提出一种新的约束核范数最小化估计量的方法并研究在高斯噪声的情况下它的理论和数值属性.根据Frobenius范数损失，可获得上下界限的估计精度.当秩一矩阵投影满足 或 时，它的估计量被证明是最优的.下界还表明，如果测量值的数目 则没有估算量可以复原秩R矩阵.一般情况下矩阵A是近似低秩的也被考虑进去了.结果表明，所提出的估计量适用于过程自适应等级和强劲的对小扰动.也考虑了次高斯设计和次高斯噪声分布的延伸.
如果低秩矩阵A是对称的，那么ROP模型可通过取 被进一步简化.在许多应用中都有这种情况，包括低文欧几里得嵌入[17]，相位恢复[8]，协方差矩阵估计[3].在这种情况下，ROP设计可以被简化为对称秩一投影(SROP)
.
我们将证明当A对称时，ROP模型的一些结论对于SROP模型也是适用的.在arXiv的摘要的写作中，Chen et al.的一篇有关的文章中提出了无噪声情况下对称正定矩阵的恢复和ℓ1边界噪声设置.他们对于对称正定矩阵的研究结果和技术并不适用于恢复一般低秩矩阵.
在本文所研究的技术和主要成果对其他相关的统计问题也有影响.尤其是它的结果意着只基于一文投影也可精确恢复协方差矩阵.协方差矩阵模型在以i.i.d数据为基础的主成分分析（PCA）中得到很好的研究，其中一文观察向量 是低秩的.此协方差结构及其变化已被广泛的应用，包括信号处理，金融计量，化学计量学和群体遗传学.假设随机矢量 不是能直接观察到的.相反，我们假设 是一文随机投影，
, ,
其中, .有点令人惊讶的是，仅基于一文预测 仍然有可能精确预估协方差矩阵Σ.该协方差矩阵恢复问题也涉及到最近的关于协方差草图的文献[10]，其目的在于从 (或者 )的低秩投影恢复为对称矩阵A（或一般的矩形矩阵B）.
文中所提出的方法可以通过凸规划得以实施.我们实施了一个模拟研究来探讨所提出的核范数最小化估计的数值性能.该数值模拟结果指出， 的随机映射的ROP通过约束核范数最小化足以确保秩r矩阵的精确恢复，并显示该程序的对小扰动，支持了本文中的理论.此外，可以通过图像压缩例子来阐明所提出的方法.
2.在高斯噪声中矩阵恢复
在本节中，考虑到在高斯无噪声情况下的精确恢复我们首先为ROP模型建立可识别条件，然后专注于在高斯噪声情况下的低秩矩阵恢复.
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