自助法在极大似然估计稳健性中的应用(2)
第一章 自助法的介绍
自助法的基本思想是重抽样和自助法分布。其分布既包含总体数据的信息也包含了统计量抽样分布的信息。
我们就以评估样本均值的精度为例，说明自助法的应用。假设样本独立同分布于未知的分布F,
(1.1)
其中F属于实值空间，观测值
样本均值 .
我们想知道把 作为真实均值 = 的估计算子时,他的估计精度如何?
如果F的二阶中心距是
(F)= ,
则标准误差是 ,即对于样本均值服从分布F,样本容量你n的均值 的标准方差是
(1.2)
因为样本容量n和感兴趣的统计量 都是已知的,而分布F是未知的,评估样本均值 的精度的传统方法是标准误差,现在因为分布F是未知的,我们不知道 ,就不能用(1.2)来评估 的精度,但是可以用估计的标准误差
(1.3)
来评估其中 ,是 的无偏估计.
下面用一个更明白的方式来估计 .
1. 表示经验概率分布,
: i=1,2, ,n. (1.4)
2.用经验概率分布 替代(1.2)里面的未知分布,得到 的估计标准误差 (1.5)
这就是自助估计.当我们评估比 复杂的多的统计量时的标准误差 时,因
,
所以 与 之间有一定的误差,但是多数情况下,这个误差是很小的,可以忽略不计.
但是要估计比样本均值 更复杂的统计量的标准误差时,如一个中位数、相关系数、稳健回归的斜率系数等等.我们并没有像(1.2)那样的公式来表示抽样分布F的标准误差 也就是说,对大多数统计量而言,公式(1.2)都是不存在的.
这就是基于计算机技术的自助法的优点.事实证明,在 不存在简单公式的情况下,我们仍可用自助法来估计 而且不管统计量有多复杂,自助法都可以给出类似于(1.3)的简单有效的统计公式.
第二章 多元线性模型及极大似然估计
§2.1 一般线性模型及其相关定义
定义2.1.1 我们用 ， ， ，和 分别表示n文列向量集合, 阶矩阵集合, n阶正定阵集合和n阶非负定阵集合; 表示 , 且使 ; ， ; ， 和 分别表示矩阵A的转置、迹、秩、Moore-Penrose逆和列向量生成的向量空间; 线性空间的 文数和其正交补空间分别用 和 表示。
定义2.1.2 考虑线性模型
， (2.1)
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