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环上的线性方程组研究+文献综述(2)
显然(*)有解
r(A)=r≤n。
因为 r(A)=n 方程有零解,故结论成立.
2.解的唯一性
在上面有解的条件下,我们讨论解的唯一性
(1)若 r=n,由(**)可推得方程组(*)有唯一解:
(2)若 r<n,由(**)可推得与方程组(*)同解的方程组:
其中
1 rn xx , ,
为自由未知量(
nr
个), 表明方程组(*)有无穷多解。它的全
体解(一般通解)为:
故我们有:
定理:
(1)齐次线性方程组有非零(无穷多)解的充要条件是 r(A)=r<n;
(2)若r(A)=r=n,则齐次线性方程组有唯一解且为零解。
3.无穷解的表达式
当 r(A)=r<n 时,齐次线性方程组有非零(无穷多)解,我们已经得到了方程
的一般通解,但其求解较复杂,下面我们将利用方程组的基础解系找出此时方程
组的简单通解。
对(Ⅰ),我们令
则可分别得到相应的解,从而得到方程组的 n-r个解向量:r n
是其次线性方程组的一个基础解系:
① 证向量组
线性无关。 本科毕业设计说明书(论文) 第 6 页 共 27 页
由上面的
可以看出它们每个向量的下面 n-r 个分量,就是 n-r
个 n-r 文单位向量,它们是线性无关的,因而添加了 r 个分量的向量组也是线性无关
的。 ② 再证齐次线性方程组的任意一个解都可以由
是其次线性方程组的任一解。
都是方程组的解,所以它们的线性组合
也是齐次线性方程组的解。而线性组合
因(3)与(1)式它们最后 n-r 个分量相同,而前 r 个分量都是由(Ⅰ)式方程解出
的,从而也相同,因而两个解完全一样。
是齐次线性方程组的一个基础解系。
因此,齐次线性方程组的所有的解可以由{
}线性表出,即所
有解有如下形式:
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