摘要本文首先介绍Banach不动点定理及其变换形式.其次, 笔者主要通过两大方面来研究不动点定理在数学问题中的应用.一方面是在中学数学中的应用，另一方面实在高等数学中的应用.通过收集分析最近几年来全国各省高考数学卷以及竞赛试卷中的一些试题,发现不动点定理的应用是其中的一大热点之一.总结了利用不动点定理求解数列通项、数列的有界性问题以及那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题的一些方法.充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况.因此，利用函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项48153公式、数列的有界性等问题是十分有意义的问题.最后还介绍了不动点定理在积分中值定理证明、积分方程求解、微分方程求解，数学建模中的应用.

This paper introduces the Banach fixed point theorem and its transformation form firstly. Then, through the analysis of the last few years’ mathematic paper from vary country, we find that the application of fixed point theorem is welcomed by the most propositions. Summarized the solutions related to the sequence of number that used fixed point theorem, including sequence of number in the general term, the sequence of number boundedness problem. Those related to the nature of the known recurrence relations but hard to find items in sequence through a comprehensive problem, make full use of the function is the key to solving such problems. The recurrence relation corresponding function "fixed point" determines the sequence of number of recurrence increases and decreases. Therefore, the study results of fixed point are significant to simplify the general term formula for the sequence of number, bounded problems. Finally, the paper introduces the application of fixed point in the provment of integral mean value theorem, integral equations, solving differential equations.

毕业论文关键词：不动点定理； 数列； 积分中值定理； 方程； 应用

Keywords: Fixed point theorem；Sequence of number；Integral mean value theorem；Equation；Application

目录

1、引言 5

2、不动点定理 5

2.1 不动点相关定义 5

2.2 不动点思想 5

2.3 Banach不动点定理 6

3、不动点定理在数列中的应用 7

3.1 求数列的通项公式 7

3.2 数列的有界性 9

4、不动点定理在存在唯一性证明中的应用 14

4.1 积分中值定理 14

4.2 积分方程求解 17

5、不动点定理在数学建模教学中的应用 20

5.1 分蛋糕模型 20

5.2椅子模型 20

5.3生物种群模型（捕食与被捕食） 21

1、引言

不动点理论的发展方向之一是只限于欧氏空间多面体上的映射. 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维尔在1909年创立了不动点理论. 在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．1923年，美国数学家Leibniz发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论. 1927年，丹麦数学家尼尔森对不动点个数的问题进行深入研究，后来提出了尼尔森数的概念.而我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理.