一 预备知识

1.1 最小多项式的定义

    定义1  设 是一个 矩阵，如果有多项式 ,使 ，则称 为 的零化多项式.

引理1 方阵的零化多项式一定是存在的.

证明  设 为方阵， 表示为数域 上的所有 方阵的集合.则 构成线性空间，它的维数为 .显然 .由于 这 个向量一定会线性相关，所以会有一组不全是零的实数 使得 

故可作出多项式 ,使得 .故对 中的任意方阵 来说，一定会有零化多项式.

    定义2 若 满足三个条件：首项系数是1   次数最低   

则 称为最小多项式.

    根据引理1我们可以了解到矩阵一定会存在最小多项式的.仅只要根据向量组 随着 的越来越大往上找零化多项式中次数最低的即可.但是这仅仅只能表达出 的最小多项式的次数最多不超过 .这个估计不太精确，我们需要更精确的估计. 

    定理1（哈密顿-凯莱定理）设 是数域 上一个 阶矩阵， 是 的特征多项式，就有 

     此定理证明过程详见文献【8】，此定理说明能把 阶方阵的最小多项式的次数缩小到不超过 .

1.2 最小多项式的性质

    性质1 矩阵 的最小多项式是唯一的.