在探究正定二次型的判定方法及其应用中，本文主要通过综合解读参考文献以及在自身所学知识的基础上来进行的相关探究. 在正定二次型的判定与应用方面也作了较为全面的总结，而且在其判定与应用方面用了一些较为具体的例子来帮助读者来深化理解其蕴含的内涵.，本文主要包含三个部分，第一个部分是正定二次型的相关定义，第二个部分包括用正定二次型的定义，其与其矩阵一一对应的关系和其判定的充要条件来说明正定二次型的判定条件. 第三部分主要说明了其在判断极值问题，解决欧式空间的度量矩阵和二次曲面方程，分析学中重积分及数学分块矩阵中阐述正定二次型在其中的应用.

1.二次型的相关定义

    定义1.1   已知 是一个数域，一个系数在数域 中的 的二次齐次多项式

    .称为在数域 上的一个 元二次型.简称二次型.另外，它也可以采用矩阵乘积的形式表示出来：构造对称矩阵

 ,记 ,则

称为 为 的矩阵.

    定义1.2   形如 的二次型，它的矩阵是规范对角矩阵

 ,它由阶数 和 , 决定（ , 的意义就是正负惯性指数）称为规范二次型.

定义1.3    实二次型  称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 都有 . 

    定义1.4    子式,源^自,吹冰"文'论.文]网[www.chuibin.com

称为矩阵 的顺序主子式 .

    定义1.5    把二次型 所化得的标准二次型的平方项的系数中，正的个数和负的个数分别称为 的正惯性指数和负惯性指数. 

2.正定二次型的判定

2.1利用正定二次型的定义判定

   运用定义判定正定二次型的正定性适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，由条件得，所得矩阵对应的二次型大于零.

   例1  已知二次型

 , 满足什么条件时 正定？

   解  对任何 .

并且等号成立的充分必要条件为： .

于是， 正定的充分必要要条件为齐次方程组