摘要：本文介绍了积分因子的概念以及积分因子的存在性和不唯一性，结合具体的实例给出常微分方程中积分因子的几种求法，即观察法、公式法、分组法.利用积分因子得到了在不等式和导数中值问题的相关应用以及一些初等数学公式的相关证明.52040

毕业论文关键词：常微分方程，积分因子，观察法，公式法，分组法

Abstract: In this paper，the concept of integral factor and the existence and uniqueness of integral factor was given. Combined with concrete examples，in ordinary differential equations of integral factor of several kinds of calculation methods are introduced. By studying integral factor，we can draw some other related applications.

Key words: ordinary differential equation，integral factor，observational method，formula method，grouping method

目   录

1引言4

2积分因子的概念及其存在性4

2.1积分因子概念4

2.2积分因子的存在性与不唯一性5

3常微分方程中的积分因子的求法5

3.1观察法5

3.2公式法7

3.3分组法12

4积分因子的其他应用13

4.1利用积分因子证明不等式13

4.2利用积分因子证明导数中值问题14

4.3利用积分因子证明初等数学公式14

结束语17参考文献18致 谢19

1  引言

常微分方程是数学学科的一个重要分支，并且是一个数学与实际紧密相连的分支学科，因此求解常微分方程十分重要.而在求解常微分方程中，积分因子起着举足轻重的作用，利用积分因子可以解决很多不同类型的常微分方程，也可以解决一些实际问题.本文根据积分因子的定义，在结合具体实例的基础上对积分因子的求法进行归类、总结，并给出相关证明.除此之外，还利用了积分因子进行一些初等数学中的简单证明.

2  积分因子的概念及其存在性

2.1  积分因子的概念

定义1[1] 如果微分形式的一阶方程   (1)的左端恰好是一个二元函数 的全微分，即      (2)

则称(1)是全微分方程或恰当微分方程，而函数 称为微分形式(2)的原函数.

定义2 给定一般形式的一阶方程                     

若存在这样的连续可微函数 ，使方程

为全微分方程，则称函数 为方程(1)的一个积分因子.

如方程

 ，                             (3)

在(3)中，设 ，则有 ，如果在方程(3)的两边同乘以 ，得到方程

 ，

为全微分方程，因此 就是方程(3)的积分因子 . 

2.2  积分因子的存在性与不唯一性

定理1 函数 是常微分方程(1)的积分因子的充分必要条件是 满足

       .                         (4)

证明  为常微分方程(1)的积分因子，则方程 为全微分方程，即可知 ，也就是 ，整理得 ，证毕.

定理2[2] 设 为方程(1)的积分因子，又设 ，则 也是方程(1)的积分因子，也称 为方程(1)的积分因子通式.其中 为 的任意可微函数.

证明 因为 ，所以 ，由 源^自·吹冰{文·论[文'网]www.chuibin.com

 ，得 .(其中 为 的一个原函数)

3  常微分方程中的积分因子的求法

3.1  观察法

对于一些容易观察的微分方程，我们可以通过观察或者适当的分组后再观察得到方程的积分因子.