摘 要：本文引入并研究了类似于Euler数的序列{Sn}的性质，并建立了一个包含{Sn}的反演公式。特别地，我们得到了{Sn}的一些递推公式。

毕业论文关键字：序列{Sn}，母函数，反演公式，递推公式53050

Abstract:  In this paper we introduce the sequence {Sn}, which is analogous to Euler numbers, and investigate the properties of {Sn}. We also establish an inversion formula involving {Sn}. In particular, we obtain some recurrence formulas for {Sn}.

Keywords: the sequence of {Sn},  generating function,  inversion formula,  recurrence formula

目录

1  引言..........................................................4

2  包含 的反演公式 .............................................5  

3  序列 的若干递推公式 .......................................7

结论 17

参考文献 18

致谢 19

1  引言 

著名的Euler数 由如下初值和递推关系给出：

               ,           ,这里 为不超过 的最大整数。Euler数有许多性质和应用，参见 。 中孙智宏引入类似Euler数的序列 :

  ,          ,并在 中研究了序列 的性质。

   本文引入与 ， 类似的序列 ，并研究包含 的恒等式和反演公式。

设序列 由源-自-吹冰:,论'文'网]www.chuibin.com

 (n=0,1,2,...)

给出，通过简单的计算我们得到：         .

本文主要研究包含 的若干恒等式。我们首先证明 的母函数为 

   ，然后利用母函数获得包含 的如下反演公式：

   ，我们还建立了 的若干递推公式， 如有：

（1.1） 为正偶数时 ，  

（1.2） 为正奇数时 ，

（1.3） 为正整数， 为正奇数时 ，

其中 与 是如下定义的Fibonacci序列和Lucas序列：

2 包含 的反演公式

定理2.1 当 时， .

证明:当 时， . 因为

 = ，故    .

推论2.1  当 为正整数时， .

证明：因为

 ，

所以 ,故   .

定理2.2 对任意序列 , ，我们有如下反演公式：

   .证明：若 ，则故有   ，

由此利用定理2.1得

 ，即  ，故比较 项系数得 .若 ，则

 由此利用定理2.1得