证明 采用积分中值定理可知，存在 （其中， ）,

使得即3 ，所以 .

从罗尔中值定理可以得出，在区间(0, )内至少存在一点c,使得 .

易得(0, )  (0,1)，得证.

例2 设函数 在 上连续，在 上可微，且 ，其中 .证明：在 内至少存在一个点 ，使 .

证明 由积分中值定理知，存在 介于 与 之间),

使由已知条件的等式可知 ,

再由罗尔中值定理可知，在区间 内至少存在一点 ，使得 =0,

易得  ,得证.

注意 以上两道题就是先运用积分中值定理之后再运用罗尔中值定理可以直接得出结论.

例3 设函数 在 上连续，且 ， .证明：在(0, )内至少存在两个不同点 , ，使 .

证明  若 ， 结论显然成立.

假使 ，由积分中值定理，存在  ，

若在 内 只有一个实根 ，

由 可知， 在 与 内异号，设在 内 ,

在 内 ,而 在 内为单调下降，所以

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= + ,

与 ， 矛盾，

所以除 外，在 内 至少还有一个实根 ，

故至少存在两个相异的实根  ，使 ,得证.

3.2运用积分中值定理估计定积分的值

在绝大多数积分式中,能找到其被积函数的原函数在进行求值的积分很少,当被积函数“积不出”或者原函数是非常复杂的，可以运用积分中值定理以及各种不等式进行估值，这里给出几种典型的用积分中值定理进行估值的例子.

例1 估计 的值.

(法一)解 令 ， ,

显然 , 满足推广的积分第一中值定理，所以

所以(法二)解 令  ,  ,显然 , 在 上可积，

且 在 上不变号，由积分第一中值定理可知，存在 ，使

由 的取值范围 知，0.005 0.01，又 趋近于0，所以