例1  证明不等式：当 时, .源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

证  令 ,则有 .

因为当 时， ,所以 在 上单调递增.

故当 时， ,既 .

例2  证明不等式：当 时, .

证  令 ,则有 .因为当 时, ,所以 在 上单调递减,

可以得到：    故 在 上单调递减,当 时， ,

故 ，即 .

2.2  利用中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理[1]：若函数 满足如下条件：

            （1） 在闭区间 上连续；

            （2） 在开区间 内可导，

则在 内至少存在一点 ，使得 .

拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，应用最广泛的是拉格朗日中值定理.利用微分中值定理证明不等式时，关键是选取适当的中值定理和中值公式，其证明的一般步骤为：第一步，根据所要证明的不等式，构造适当的辅助函数 和区间 （若要用柯西中值定理，则要选取 和 与相应的区间 ）；第二步，当函数 在区间 上满足中值定理的条件时，就会得到相应的中值公式；第三步，对中值公式进行适当的变化得到所要证明的不等式.