摘要：极值问题是一个永恒的课题，在高等数学中，一元函数、二元函数的极值已有了成熟的判别方法，而对于三元及以上函数极值的情形涉及较少。本文从一元函数及二元函数极值着手，探讨三元函数的极值问题，建立了三元函数的极值判别法，然后将其推广到条件极值的情形，并给出了几个应用实例。54123

毕业论文关键词：函数，极值，判别，应用

Abstract：Extreme value problem is an eternal topic. In  higher mathematics, the extreme values for the monadic functions and two-place functions have mature discriminantmethods. Butfor the situations of functions with three variables and the extreme values of multivariate functions involve less. In this paper,I write from the start of the extreme values for the monadic functions and two-place functions.Then investigating the extremum problems of functions with three variables.With the establishment of the extreme discrimination for the functions with three variables,the conclusion was popularized to conditional extremum.Finally,its application was discussed.

Keywords：function, extremum , distinguish , application

目   录

1  前言4

2  三元函数极值的概念4

3  三元函数极值存在的必要条件和充分条件4

3.1  三元函数极值的必要条件4

3.2  三元函数极值的充分条件4

4  三元函数极值的求法与应用7

4.1  三元函数极值的求法7

4.2  三元函数的条件极值7

4.3  三元函数极值的应用7

结论11

参考文献12

致谢13

1  前言

极值问题在函数研究过程中非常重要．在高等数学中，一元函数、二元函数极值已有了成熟的判别方法，而对于三元及以上的情形涉及较少．本文主要根据三元函数 的二阶偏导数 ， ， ， ， ， ，得到矩阵 ，根据该矩阵的正定性，来讨论三元函数的极值问题，并将其推广到条件极值．

2  三元函数极值的概念

设函数 定义在区域 内，且 是该区域的内点．若在点 有这样一个邻域 使得对于其中一切点都能成立不等式 （或 ）就说函数 在点 处极大值（或极小值），点 称为函数 的极大值点（或极小值点）．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．  

3  三元函数极值存在的必要条件和充分条件

3.1  三元函数极值的必要条件源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

定理1   若函数 在点 存在偏导数,且在 取得极值,则有

        ,  , ．

证明  若函数 在点 存在偏导数,且在 取得极值，则当固定 ，

 时，一元函数 必定在 取相同的极值．同理，一元函数 ，

 在 ， 也取相同的极值．

反之，若函数 在点 满足上式，则称点 为 的稳定点．定理1指出：若 存在偏导数，则其极值点必是稳定点．但稳定点并不都是极值点．

3.2  三元函数极值的充分条件

定理2   设三元函数 在点 的某邻域 内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，且 是 的稳定点．

令 ， ， ， ， ， ，及二次型那么

（1）若行列式 的各阶顺序主子式都大于零，即       , , ． 

则函数 在点 处取极小值．（2）若行列式满足    ， ， ．

则函数 在点 处取极大值．

证明  由 在 的三阶泰勒公式，并注意到条件 ，对任意的 ，有

由于 的一切二阶偏导数在 附近连续，那么有

于是已知二次型 ,故