摘 要：如果{an}和{ bn }是两个序列，满足a1=b1和bn+a1bn-1+…+an-1b1=nan (n>1),则称(an,bn)是一个Newton-Euler序列对.本文主要给出了Newton-Euler序列对的三个例子及其应用.

毕业论文关键词：Newton-Euler序列对,母函数，序列，行列式54190

Abstract：If {an} and { bn } are two sequences satisfying a1=b1 and bn+a1bn-1+…+an-1b1=nan (n>1), then we say that (an,bn) is a Newton-Euler pair. In this paper, we give three examples of Newton-Euler pairs and their applications.

Key Words：Newton-Euler pair, generating function, sequence, determinant

目   录

1   引言…4

2   为Newton-Euler序列对… 5

3   为Newton-Euler序列对…7

4   为Newton-Euler序列对…10

5   为Newton-Euler序列对…13

结论 17

参考文献18

致谢 19

1  引言

如果{ } 和{bn} 是两个序列，满足 =b1和bn+ bn-1+…+ b1=n  (n>1), 在[3]中孙智宏称( ,bn)是一个Newton-Euler序列对，并研究了Newton-Euler序列对的性质.在[1-2]中也有与Newton-Euler序列对相关的一些结果.特别孙智宏证明了如下结果：

定理1.1 ([3, Theorem 2.1])  设{ }和{bn}是两个序列，A(x)= ，B(x)=  , 则下列陈述等价：

(i) ( ,bn)是一个Newton-Euler序列对.

(ii) B(x)=xA’(x)/A(x).

(iii) A(x)=e . 

定理1.2  ([3, Theorem 2.2])  若( ,bn)是一个Newton-Euler序列对，则

   = .

  bn=n .

定理1.3 ([3, Theorem 2.3])  设(an,bn)是一个Newton-Euler序列对， 则

    = .

bn= .本文主要证明了 , , 和  为Newton-Euler序列对.

2   为Newton-Euler序列对

    定理2.1 设 为实数，则 为Newton-Euler序列对.

    证  令 = ， bn= ，对n施行数学归纳法.

当 n=1时，  = ，b1= ，故 =b1 成立.假设当n=k时成立，即 

  bk+ bk-1+…+ b1=k   (k>1). 

当n=k+1时有  

bk+1+ bk+ bk-1+…+ b2+ b1

=(-1) bk+ bk+ bk-1+…+ b2+ b1

=(-1) bk- bk-1- bk-2-…- b1+ b1

=- ( bk+ bk-1+…+ b1)+ b1

=-k + b1

=( -k) ,

(k+1) =(k+1) 

= ,

而 

 = ，源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

故 

(k+1) = ( -k) ,

bk+1+ bk+ bk-1+…+ b2+ b1=(k+1) .

于是当n=k+1时 等式成立, 从而 是一个Newton-Euler序列对.

(i) (ii)  令A(x)= 1+ ，B(x)=  ，则

          A(x)=1+ x+ + xn+…

=1+ 

= ，

          B(x)=   = ,

从而有

        B(x)=xA’(x)/A(x).

(ii) (iii)由于   ,

          e =e =e = ,

          A(x)= ，

故有         A(x)=e .

于是由定理1.1知定理正确.

   定理2.2  设n为正整数，则

     = .

   =n .

 证  由定理2.1知 是Newton-Euler序列对，故由定理1.2知定理正确.

定理2.3  设n为正整数，