定性的余项为佩亚诺型余项 ，仅表示余项是 ，即当 时高阶无穷小．

定量的余项为拉格朗日型余项 （ 也可以写成 ， ，定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或估计．

2.1  带有佩亚诺(Peano)型余项的公式

定理2.1 　若函数 在点 的某邻域存在直至 阶导数，则对此邻域内的点 有

其中， 为佩亚诺型余项， 式称为带有佩亚诺型余项的泰勒

公式．当 时其中 式称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

2.2  带有拉格朗日(Lagrange)型余项的公式

定理2．2   若函数 在 上存在直至 阶连续导数，在 内存在直至 阶导数，则对任意给定的 ， ，至少存在一点 使得

其中， 称为拉格朗日余项， 式称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式．

注意到当 时，有源'自:吹冰`!论~文'网www.chuibin.com

此式即为拉格朗日中值公式，所以泰勒定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广．

3  泰勒公式的应用

3.1  利用泰勒公式求近似值

当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出近似值时，这时泰勒公式是解决这种问题的一个好方法．

例1  计算 准确 ．

解 利用

当 =1时有            ,

故 < ，显然当 时，可得 ．

3.2  利用泰勒公式求极限

对于待定型的极限问题，一般可以利用洛比达法则来求解，但是，对于一些求导比较繁琐，计算复杂，特别是要多次使用洛比达法则的情况，利用泰勒公式求极限会简单很多．利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并且采用带佩亚诺型余项的泰勒公式 ．当极限式为分式时，一般要求分子和分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限．

例2  用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限 ．

解  当 时， ，由泰勒公式知